Question

【題目】如圖，，點(diǎn)是直線，之間的一點(diǎn)，連接、.

（1）問題發(fā)現(xiàn)：

①若，，則 ．

②猜想圖中、、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（2）拓展應(yīng)用:

如圖，，線段把這個封閉區(qū)域分為、兩部分（不含邊界），點(diǎn)是位于這兩個區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)（不在邊界上），請直接寫出、、的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】（1）①，②，見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)位于區(qū)域時， ，當(dāng)點(diǎn)位于區(qū)域時， .

【解析】

（1）①過點(diǎn)E作EF∥AB，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②、根據(jù)①的過程可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠EMB、∠END、∠MEN的關(guān)系．

解：（1）

①如圖1，過點(diǎn)E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠A=45°，∠C=30°，
∴∠1=∠A=45°，∠2=∠C=30°，
∴∠AEC=∠1+∠2=75°；

②猜想： ．

理由：如圖，過點(diǎn)作，

∵

∴（平行于同一條直線的兩直線平行），

∴，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

∴（等量代換）；

（2）

當(dāng)點(diǎn)位于區(qū)域時， ，

理由：過E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BME+∠MEF=180°，∠DNE+∠NEF=180°，
∴∠EMB+∠END+∠MEN=360°；

當(dāng)點(diǎn)位于區(qū)域時， .

理由：過E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BMN=∠FEM，∠DNE=∠FEN，
∴∠EMB+∠END=∠MEF+∠NEF=∠MEN．

故答案為：（1）①，②，見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)位于區(qū)域時， ，當(dāng)點(diǎn)位于區(qū)域時， .