Question

【題目】如圖，中，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)D落在線段AB上，連接BE．

（1）求證：DC平分；

（2）試判斷BE與AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由：

（3）若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BE⊥AB，理由見解析；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，∠A=∠CDE，再由等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ADC即可證明∠ADC=∠CDE；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，從而得出∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，再根據(jù)∠ACB=90°即可得到∠ABE=90°；

（3）設(shè)BD=BE=a，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=DE=，表達(dá)出AD，再證明△ACD∽△BCE，得到即可．

解：（1）由旋轉(zhuǎn)可知：AC=CD，∠A=∠CDE，

∴∠A=∠ADC，

∴∠ADC=∠CDE，即DC平分∠ADE；

（2）BE⊥AB，

理由：由旋轉(zhuǎn)可知，∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，

∴∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，

又∵∠ACB=90°，

∴∠CAD+∠ABC=90°，

∴∠CBE+∠ABC=90°，

即∠ABE=90°，

∴BE⊥AB；

（3）∵∠ABE=90°，BD=BE，

∴設(shè)BD=BE=a，則，

又∵AB=DE，

∴AB=，則AD=，

由（2）可知，∠ACD=∠BCE，∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，

∴△ACD∽△BCE，

∴，

∴tan∠ABC=．