Question

19．已知如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β
（1）如圖1，若α+β=150°，求∠MBC+∠NDC的度數(shù)；
（2）如圖1，若BE與DF相交于點(diǎn)G，∠BGD=45°，請(qǐng)寫(xiě)出α、β所滿足的等量關(guān)系式；
（3）如圖2，若α=β，判斷BE、DF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用角平分線的定義和四邊形的內(nèi)角和以及α+β=150°推導(dǎo)即可；
（2）利用角平分線的定義和四邊形的內(nèi)角和以及三角形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化即可；
（3）利用角平分線的定義和四邊形的內(nèi)角和以及三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可．

解答 解：（1）在四邊形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°
∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，
∵α+β=150°，
∴∠MBC+∠NDC=150°，
（2）β-α=90° 
理由：如圖1，連接BD，

由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG=$\frac{1}{2}$∠MBC，∠CDG=$\frac{1}{2}$∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG=$\frac{1}{2}$∠MBC+$\frac{1}{2}$∠NDC=$\frac{1}{2}$（∠MBC+∠NDC）=$\frac{1}{2}$（α+β），
在△BCD中，∠BDC+∠CDB=180°-∠BCD=180°-β，
在△BDG中，∠BGD=45°，
∴∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，
∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CDB）+∠BGD=180°，
∴$\frac{1}{2}$（α+β）+180°-β+45°=180°，
∴β-α=90°，
（3）平行，
理由：如圖2，延長(zhǎng)BC交DF于H，

由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠MBC，∠CDH=$\frac{1}{2}$∠NDC，
∴∠CBE+∠CDH=$\frac{1}{2}$∠MBC+$\frac{1}{2}$∠NDC=$\frac{1}{2}$（∠MBC+∠NDC）=$\frac{1}{2}$（α+β），
∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，
∴∠CDH=∠BCD-∠DHB=β-∠DHB，
∴∠CBE+β-∠DHB=$\frac{1}{2}$（α+β），
∵α=β，
∴∠CBE+β-∠DHB=$\frac{1}{2}$（β+β）=β，
∴∠CBE=∠DHB，
∴BE∥DF．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了平角的意義，四邊形的內(nèi)角和，三角形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的意義，用整體代換的思想是解本題的關(guān)鍵，整體思想是初中階段的一種重要思想，要多加強(qiáng)訓(xùn)練．