Question

已知拋物線y=x²+（2m-1）x+m²-1（m為常數(shù)）．
（1）當該拋物線經(jīng)過坐標原點，并且頂點在第四象限時，求出它所對應的函數(shù)關系式；
（2）設（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為Q，拋物線的頂點為P，試求經(jīng)過O、P、Q三點的圓的圓心O′的坐標；
（3）設A是（1）所確定的拋物線上位于x軸下方、且在對稱軸左側的一個動點，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C，
①當BC=1時，求矩形ABCD的周長；
②試問矩形ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值，并指出此時A點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把（0，0）代入拋物線解析式，可以求得m的值，然后求得頂點坐標，判斷是否在第四象限，即可判斷m的值；
（2）Rt△O EO′中，利用勾股定理，即可求得a的值，得到O′E的長，從而求得點O′的坐標；
（3）①已知BC的長，即可求得OB的長，得到矩形的周長；
②設點A（x，y），則OB=x，BE=-x，則AB可以利用x表示出來，則矩形的周長可以表示成關于x的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質，即可求解．
解答：解：（1）將（0，0）代入得m²-1=0，
∴m=±1．
當m=1時，y=x²+x=（x+）²-，
∴頂點是（-，-），不合題意，舍去；
當m=-1時，y=x²-3x=（x-）²-，
∴頂點是（ ，-）在第四象限，
∴所求函數(shù)關系式為y=x²-3x；

（2）求得點Q（3，0），而頂點P（，-），
由題意可知經(jīng)過O、P、Q三點的圓的圓心O′在拋物線的對稱軸上，
連接O O′，則O O′=P O′，設拋物線的對稱軸與x軸交于點E，O O′=a，
在Rt△O EO′中，OE=，O′E=-a，
由勾股定理得（）²+（-a）²=a²，
解得a=，
∴O′E=-=，
∴點O′（，-）；

（3）①當BC=1時，則BE=，
∴OB=-=1，
當x=1時，y=-2，
∴AB=2，
∴矩形ABCD的周長=6；
②設點A（x，y），則OB=x，BE=-x，
∴BC=2BE=3-2x，
∵y=x²-3x，
∴AB=3x-x²，
∴矩形ABCD的周長=2（3x-x²+3-2x）=-2（x-）²+6，
∴當x=時，矩形ABCD的周長有最大值為6，此時A（，-）．
點評：本題是二次函數(shù)與矩形相結合的題目，主要考查了勾股定理，二次函數(shù)的最值，難度較大．