【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A(2,0),B(3,-3)兩點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)為C,動(dòng)點(diǎn)P在直線OB上方的拋物線上,過點(diǎn)P作直線PM∥y軸,交x軸于M,交OB于N,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)當(dāng)△PON為等腰三角形時(shí),點(diǎn)N的坐標(biāo)為 ;當(dāng)△PMO∽△COB時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ;(直接寫出結(jié)果)
(3)直線PN能否將四邊形ABOC分為面積比為1:2的兩部分?若能,請(qǐng)求出m的值;若不能,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=-x2+2x;C(1,1);(2)N1(1,-1),N2(2,-2),N3(, )P1(, ),P2(, );(3)或
【解析】(1)本題需先根據(jù)拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過(2,0)B(3,-3)兩點(diǎn),分別求出a、b的值,再代入拋物線y=ax2+bx即可求出它的解析式;
(2)由△PON為等腰三角形的條件,依次寫出點(diǎn)N、點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)作BD⊥x軸于D,作CE⊥x軸于E,交OB于F,由三角形面積求出OE=EF,然后分幾種情況得到m 的值.
解:(1)根據(jù)題意,得,解這個(gè)方程組得
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x
當(dāng)x=時(shí),y=-x2+2x=1,∴C(1,1)
(2)N1(1,-1),N2(2,-2),N3(, )
P1(, ),P2(, )
(3)作BD⊥x軸于D,作CE⊥x軸于E,交OB于F
則BD=OD=3,CE=OE=1,OC=AC
∴△ODB,△OCE,△AOC均為等腰直角三角形
∴∠AOC=∠AOB=∠OAC=45°
∵PM∥y軸,∴OM⊥PN,∠MNO=∠AOB=45°,∴OM=MN=m,OE=EF=1
①∵
∴當(dāng)0<m≤1時(shí),不能滿足條件
②當(dāng)1<m≤2時(shí),設(shè)PN交AC于Q,則MQ=MA=2-m
由,得,解得
,符合題意
由,得,解得
,符合題意
③當(dāng)2<m<3時(shí),作AG⊥x軸,交OB于G,
則AG=OA=2,AD=1
∴
∴當(dāng)2<m<3時(shí),不能滿足條件
∴或
“點(diǎn)睛”此題屬于二次函數(shù)綜合題,涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一元一次方程的解及三角形的面積,綜合性較強(qiáng),解答本題的難點(diǎn)在第三問,關(guān)鍵是根據(jù)題意進(jìn)行分類求解,難度較大,一般出是試題的壓軸題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長(zhǎng)方形紙片ABCD,點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上,連接EF,將∠BEF對(duì)折,點(diǎn)B落在直線EF上的B′處,得到折痕EC,將點(diǎn)A落在直線EF上的點(diǎn)A′處,得到折痕EN.
(1)若∠BEB′=110°,則∠BEC=°,∠AEN=°,∠BEC+∠AEN=°.
(2)若∠BEB′=m°,則(1)中∠BEC+∠AEN的值是否改變?請(qǐng)說明你的理由.
(3)將∠ECF對(duì)折,點(diǎn)E剛好落在F處,且折痕與B′C重合,求∠DNA′.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將△ABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得△A1B1C1(A、B分別對(duì)應(yīng)A1、B1),則直線AB與直線A1B1的夾角(銳角)為( )
A.130°
B.50°
C.40°
D.60°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我區(qū)注重城市綠化提高市民生活質(zhì)量,新建林蔭公園計(jì)劃購買甲、乙兩種樹苗共800株,甲種樹苗每株12元,乙種樹苗每株15元.相關(guān)資料表明:甲、乙兩種樹苗的成活率分別為85%、90%.
(1)若購買這兩種樹苗共用去10500元,則甲、乙兩種樹苗各購買多少株?
(2)若要使這批樹苗的總成活率不低于88%,則甲種樹苗至多購買多少株?
(3)在(2)的條件下,應(yīng)如何選購樹苗,使購買樹苗的費(fèi)用最低?并求出最低費(fèi)用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AC=3cm,∠ACB=90°,∠ABC=60°,將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A′BC′,點(diǎn)C′在直線AB上,則邊AC掃過區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為____________cm2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(10,0),(0,4),點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng),當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .
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