Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)F，使CF=CA，連接AF，∠ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點(diǎn)E，N，M，連接EO，已知BD=．

（1）求正方形ABCD的邊長(zhǎng)；

（2）求OE的長(zhǎng)；

（3）①求證：CN＝AF；

②直接寫出四邊形AFBO的面積．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）①證明見解析，②

【解析】試題分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理即可求得;(2)根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證得點(diǎn)E是AF中點(diǎn),依據(jù)三角形中位線OE＝CF＝;(3) ①通過證明△NCB≌△FAB可證得CN＝AF; ②依據(jù)△AFC的面積-△BOC的面積.

試題解析：

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝CD＝BC，∠BCD＝∠ABC＝90°，

∴2BC2=BD2，∵BD=，∴AB= BC =2，

∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2；

（2）∵CF=CA，AF是∠ACF的平分線，

∴CE⊥AF，∴∠AEC=∠CEF=90°，E為AF的中點(diǎn)，

∵正方形ABCD，∴O為AC的中點(diǎn)，AC＝BD＝，

∴OE＝CF＝BD＝，

（3）①證明：∵∠ABC＝∠ABF＝∠CEF=90°，AB＝BC，

∴∠ECB＋∠F＝∠FAB＋∠F＝90°，∴∠ECB＝∠FAB，

∴△NCB≌△FAB，

∴CN＝AF．

② ．

點(diǎn)睛:本題綜合考查了菱形、矩形、正方形的有關(guān)性質(zhì)及判定，其中還串聯(lián)到等腰三角形和勾股定理等知識(shí)，充分體現(xiàn)出幾何知識(shí)的整體性和推理的嚴(yán)密性．在解答有關(guān)特殊四邊形的性質(zhì)或判定問題時(shí)，既要依托數(shù)，也要依托形，這是解答幾何問題的最基本的思想方法．