Question

【題目】問(wèn)題提出：

如圖①菱形ABCD中,AB=4,∠ABC=60°點(diǎn)0是菱形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn),EF是經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的任意一條線段，容易知道線段EF將菱形ABCD的面積等分，那么線段EF的長(zhǎng)度的最大值是 ，最小值是 。

問(wèn)題探究：

如圖② 四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=2，BC=4，∠B=∠C=60°，請(qǐng)你過(guò)點(diǎn)D畫(huà)出將四邊形ABCD面積平分的線段DE，并求出DE的長(zhǎng)。

問(wèn)題解決：

如圖③.四邊形ABCD是西安城區(qū)改造過(guò)程中一塊不規(guī)則空地，為了美化環(huán)境，市規(guī)劃辦決定在這塊地里種兩種花棄,打算過(guò)點(diǎn)C修一條筆直的通道，以方便市民出行和觀賞花卉，并要求通道兩側(cè)種植的花卉面積相等，經(jīng)測(cè)量AB=20米，AD=100米，∠A=60°，∠ABC=150°，∠BCD=120°，若將通道記為CF，請(qǐng)你畫(huà)出通道CF，并求出通道CF的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】問(wèn)題提出：，；問(wèn)題探究：線段DE如圖所示，DE=；問(wèn)題解決：通道CF如圖所示，CF=35米.

【解析】

問(wèn)題提出：由題意可知，當(dāng)EF⊥AD時(shí)，EF最短，當(dāng)EF與BD重合時(shí)，EF最長(zhǎng)，然后分別求解即可；

問(wèn)題探究：如圖②，取AB中點(diǎn)F，連接DF并延長(zhǎng)交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，取CG中點(diǎn)E，連接DE，首先易證△AFD≌△BFG，通過(guò)作CG中點(diǎn)E得到S△DEG=S△DEC，即可證明DE即為所求，然后根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和∠C=60°可求出DM，EM，最后利用勾股定理求出DE即可；

問(wèn)題解決：如圖③，連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BH∥AC交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，取DH中點(diǎn)F，由S△HAC= S△BAC可知S四邊形ABCD=S△CHD，即可證明CF即為所求；然后如圖④，延長(zhǎng)AB，DC交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AD，根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)可求出CN和ND，根據(jù)三角形面積可求出DF，然后利用勾股定理求出CF即可.

解：?jiǎn)栴}提出：如圖①，由題意可知，當(dāng)EF⊥AD時(shí)，EF最短，

∵AB=4，∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AC=4，∠DAO=60°，

∴AO=2，

∴OE=，

∴EF=2OE=；

當(dāng)EF與BD重合時(shí)，EF最長(zhǎng)，

∵AB=4，AO=2，

∴BO=,

此時(shí)EF=BD=2BO=，

故答案為：，；

問(wèn)題探究：如圖②，取AB中點(diǎn)F，連接DF并延長(zhǎng)交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，取CG中點(diǎn)E，連接DE，則DE即為所求；

∵AD∥BC，

∴∠ADG=∠G，

∵∠AFD=∠BFG，AF=BF，

∴△AFD≌△BFG，

∴S△AFD= S△BFG，

∵E是CG中點(diǎn)，

∴S△DEG=S△DEC，

∴S四邊形ABED= S△DEC，即DE將四邊形ABCD面積平分，

過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，

∵AD=2，BC=4，∠B=∠C=60°，

∴CE=3，CM=1，

∴DM=，EM=2，

∴DE=；

問(wèn)題解決：如圖③，連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BH∥AC交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，取DH中點(diǎn)F，則CF即為所求；

∵BH∥AC，

∴S△HAC= S△BAC，

∴S四邊形ABCD=S△CHD，

∵F為DH中點(diǎn)，

∴CF將四邊形ABCD面積平分；

如圖④，延長(zhǎng)AB，DC交于點(diǎn)M，

∵∠ABC=150°，∠BCD=120°，

∴∠MBC=30°，∠BCM=60°，

∴∠M=90°，

∵AB=20米，AD=100米，∠A=60°，

∴∠D=30°，

∴AM=50米，MD=米，

∴BM=30米，MC=米，

∴S△CFD=S四邊形ABCD=(S△AMD－S△BMC)=，

過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AD，CD=米，

∴CN=米，ND=60米，

∴S△CFD=，

解得：DF=55米，

∴NF=5米，

∴CF=米.