Question

19．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分線與BC相交于點D，點E在AB上，DE=DC，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D．
（1）AC與⊙D相切嗎？
（2）你能找到AB、BE、AC之間的數(shù)量關系嗎？

Answer 1

分析 （1）過D作DF⊥AC于F，如圖，利用角平分線的性質定理可得到DF=DB，則根據(jù)切線的判定方法可判斷AC是⊙D的切線；
（2）先判斷AB是圓D的切線，則根據(jù)切線長定理得到AB=AF，再證明△BDE≌△FDC得到BE=CF，于是得到AC=AF+CF=AB+BE．

解答 解：（1）AC與⊙D相切．理由如下：
過D作DF⊥AC于F，如圖，
∵AD平分∠BAC，∠B=∠AFD=90°，
∴DF=DB，
∴AC是⊙D的切線；
（2）∵∠B=90°，DB為半徑，
∴AB是圓D的切線，
∴AB=AF，
在Rt△BDE與Rt△FDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CD}\\{DB=DF}\end{array}\right.$
∴△BDE≌△FDC（HL），
∴BE=CF，
∴AC=AF+CF=AB+BE．

點評 本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑；當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．靈活應用角平分線的性質定理和運用全等三角形的知識解決線段相等的問題．