Question

9．問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，判斷∠ABP，∠CDP，∠BPD之間的數(shù)量關(guān)系．
小明的思路：如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，通過(guò)平行線性質(zhì)，可得∠ABP+∠CDP+∠BPD=360°．
問(wèn)題遷移：AB∥CD，直線EF分別與AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)P在直線EF上（點(diǎn)P與點(diǎn)E，F(xiàn)不重合）運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3，判斷∠ABP，∠CDP，∠BPD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)點(diǎn)P不在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)你說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)你在備用圖上畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出∠ABP，∠CDP，∠BPD之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）過(guò)P作PQ∥AB，推出AB∥PQ∥CD，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠BPQ=∠B，∠D=∠DPQ，求出即可；
（2）過(guò)P作PQ∥AB，推出AB∥PQ∥CD，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠BPQ=∠B，∠D=∠DPQ，求出即可．

解答 解：∵過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，
則PE∥CD，
∴∠B+∠BPE=∠D+∠DPE=180°，
∴∠ABP+∠CDP+∠BPD=360°，
故答案為：360；

（2）∠ABP+∠CDP=∠BPD；
證明：如圖②，過(guò)P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠B=∠1，∠D=∠2，
∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；

（3）不成立，關(guān)系式是：∠B-∠D=∠BPD，或∠D-∠B=∠BPD，
理由：如圖4，過(guò)P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠BPQ=∠B，∠D=∠DPQ，
∴∠B-∠D=∠BPQ-∠DPQ=∠BPD，
∠BPQ=∠B-∠D．
如圖5，同理∠D-∠B=∠BPD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線性質(zhì)的應(yīng)用，在解答此題時(shí)要注意作出輔助線，構(gòu)造出平行線求解．