Question

12．（1）問題發(fā)現(xiàn)，如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作AE的垂線，垂足為F與AC、BC分別交于點(diǎn)G，點(diǎn)H，則$\frac{AG}{CG}$=2．
（2）類比探究；如圖2，在矩形ABCD中，$\frac{AD}{DC}$=$\frac{3}{4}$，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作AE的垂線，垂足為F，與AC、BC分別交于點(diǎn)G，點(diǎn)H，試探究$\frac{AG}{CG}$的值，并寫出推理過程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形性質(zhì)證明△ADE≌△DCH，得CH=DE，設(shè)DE=x，根據(jù)AD∥CH得比例式得結(jié)論；
（2）設(shè)AD=3x，DC=4x，證明△ADE∽△DCH，表示出CH的長，利用AD∥BC列比例式代入求解．

解答 解：（1）如圖1，設(shè)DE=x，則DC=2x，AD=2x，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵DC=AD，∠ADC=∠DCH=90°，
∴△ADE≌△DCH，
∴CH=DE=x，
∵AD∥CH，
∴△ADG∽△CHG，
∴$\frac{AG}{CG}=\frac{AD}{CH}$=$\frac{2x}{x}$=2，
故答案為：2；
（2）如圖2，設(shè)AD=3x，DC=4x，則DE=2x，
∵∠HDC+∠ADH=90°，∠ADH+∠DAE=90°，
∴∠HDC=∠DAE，
∵∠ADC=∠DCB=90°，
∴△ADE∽△DCH，
∴$\frac{AD}{DC}=\frac{DE}{CH}$，
∴$\frac{3x}{4x}=\frac{2x}{CH}$，
∴CH=$\frac{8x}{3}$，
∵AD∥BC，
∴△ADG∽△CHG，
∴$\frac{AG}{CG}=\frac{AD}{CH}$=$\frac{3x}{\frac{8x}{3}}$=$\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，難度不大，考查了正方形、矩形的性質(zhì)，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，常用來判定三角形相似的方法有兩種：①平行；②兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似；要注意如果已知給出兩邊的比，如，$\frac{AD}{DC}$=$\frac{3}{4}$，通常設(shè)AD為3x，DC為4x．