Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y= x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的頂點(diǎn)為P，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣1），C的坐標(biāo)為（4，3），直角頂點(diǎn)B在第四象限．

（1）如圖，若該拋物線過(guò)A，B兩點(diǎn)，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）平移（1）中的拋物線，使頂點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng)，且與AC交于另一點(diǎn)Q．
（i）若點(diǎn)M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)以M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí)，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（ii）取BC的中點(diǎn)N，連接NP，BQ．試探究 是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣1），C的坐標(biāo)為（4，3）

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，﹣1）．

∵拋物線過(guò)A（0，﹣1），B（4，﹣1）兩點(diǎn)，

∴ ，解得：b=2，c=﹣1，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y= x2+2x﹣1

（2）

解：方法一：

i）∵A（0，﹣1），C（4，3），

∴直線AC的解析式為：y=x﹣1．

設(shè)平移前拋物線的頂點(diǎn)為P0，則由（1）可得P0的坐標(biāo)為（2，1），且P0在直線AC上．

∵點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng)，∴可設(shè)P的坐標(biāo)為（m，m﹣1），

則平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y= （x﹣m）2+m﹣1．

解方程組： ，

解得

∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）．

過(guò)點(diǎn)P作PE∥x軸，過(guò)點(diǎn)Q作QF∥y軸，則

PE=m﹣（m﹣2）=2，QF=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2．

∴PQ= =AP0．

若以M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：

①當(dāng)PQ為直角邊時(shí)：點(diǎn)M到PQ的距離為 （即為PQ的長(zhǎng)）．

由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P0（2，1）可知，

△ABP0為等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0= ．

如答圖1，過(guò)點(diǎn)B作直線l1∥AC，交拋物線y= x2+2x﹣1于點(diǎn)M，則M為符合條件的點(diǎn)．

∴可設(shè)直線l1的解析式為：y=x+b1，

∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b1，解得b1=﹣5，

∴直線l1的解析式為：y=x﹣5．

解方程組 ，得：

∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）．

②當(dāng)PQ為斜邊時(shí)：MP=MQ=2，可求得點(diǎn)M到PQ的距離為 ．

如答圖2，取AB的中點(diǎn)F，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，﹣1）．

由A（0，﹣1），F(xiàn)（2，﹣1），P0（2，1）可知：

△AFP0為等腰直角三角形，且點(diǎn)F到直線AC的距離為 ．

過(guò)點(diǎn)F作直線l2∥AC，交拋物線y= x2+2x﹣1于點(diǎn)M，則M為符合條件的點(diǎn)．

∴可設(shè)直線l2的解析式為：y=x+b2，

∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b2，解得b2=﹣3，

∴直線l2的解析式為：y=x﹣3．

解方程組 ，得：

∴M3（1+ ，﹣2+ ），M4（1﹣ ，﹣2﹣ ）．

綜上所述，所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為：

M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+ ，﹣2+ ），M4（1﹣ ，﹣2﹣ ）．

方法二：

∵A（0，1），C（4，3），

∴l(xiāng)AC：y=x﹣1，

∵拋物線頂點(diǎn)P在直線AC上，設(shè)P（t，t﹣1），

∴拋物線表達(dá)式： ，

∴l(xiāng)AC與拋物線的交點(diǎn)Q（t﹣2，t﹣3），

∵一M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，P（t，t﹣1），

①當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，M（t，t﹣3）， ，

∴t=1± ，

∴M1（1+ ， ﹣2），M2（1﹣ ，﹣2﹣ ），

②當(dāng)Q為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M可視為點(diǎn)P繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而成，

將點(diǎn)Q（t﹣2，t﹣3）平移至原點(diǎn)Q′（0，0），則點(diǎn)P平移后P′（2，2），

將點(diǎn)P′繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)M′（2，﹣2），

將Q′（0，0）平移至點(diǎn)Q（t﹣2，t﹣3），則點(diǎn)M′平移后即為點(diǎn)M（t，t﹣5），

∴ ，

∴t1=4，t2=﹣2，

∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），

③當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，同理可得M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），

綜上所述，所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為：

M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+ ，﹣2+ ），M4（1﹣ ，﹣2﹣ ）．

ii） 存在最大值．理由如下：

由i）知PQ= 為定值，則當(dāng)NP+BQ取最小值時(shí)， 有最大值．

如答圖2，取點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，易得點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（0，3），BQ=B′Q．

連接QF，F(xiàn)N，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，

∴四邊形PQFN為平行四邊形．

∴NP=FQ．

∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′= ．

∴當(dāng)B′、Q、F三點(diǎn)共線時(shí)，NP+BQ最小，最小值為 ．

∴ 的最大值為

【解析】（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）i）首先求出直線AC的解析式和線段PQ的長(zhǎng)度，作為后續(xù)計(jì)算的基礎(chǔ)．若△MPQ為等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：①當(dāng)PQ為直角邊時(shí)：點(diǎn)M到PQ的距離為 ．此時(shí)，將直線AC向右平移4個(gè)單位后所得直線（y=x﹣5）與拋物線的交點(diǎn)，即為所求之M點(diǎn)；②當(dāng)PQ為斜邊時(shí)：點(diǎn)M到PQ的距離為 ．此時(shí)，將直線AC向右平移2個(gè)單位后所得直線（y=x﹣3）與拋物線的交點(diǎn)，即為所求之M點(diǎn)．ii）由（i）可知，PQ= 為定值，因此當(dāng)NP+BQ取最小值時(shí)， 有最大值．如答圖2所示，作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，由分析可知，當(dāng)B′、Q、F（AB中點(diǎn)）三點(diǎn)共線時(shí)，NP+BQ最小，最小值為線段B′F的長(zhǎng)度．