Question

【題目】如圖所示：在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)M（0，）為圓心，2為半徑作⊙M交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于C，D兩點(diǎn)，連接AM并延長(zhǎng)交⊙M于點(diǎn)P，連接PC交x軸于點(diǎn)E．

（1）求點(diǎn)C，P的坐標(biāo)；

（2）求弓形的面積；

（3）探求線段BE和OE存在何種數(shù)量關(guān)系，并證明你所得到的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），C（0，﹣）；（2）S弓形ACB=4π﹣；（3）BE=2OE，見解析

【解析】

試題分析：（1）連接PB．根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角判定PB⊥OM；由已知條件OA=OB推知OM是三角形APB的中位線；最后根據(jù)三角形的中位線定理求得點(diǎn)P的坐標(biāo)、由⊙M的半徑長(zhǎng)求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）連接BM，易求扇形AMB的面積和△AMB的面積，由S弓形ACB=S扇形AMB﹣S△AMB計(jì)算即可；

（3）首先證△AMC為等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60°和直徑所對(duì)的圓周角∠ACP=90°可求得∠OCE=30°，然后在直角三角形OCE中利用30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半來(lái)證明BE=2OE．

解：（1）連接PB，

∵PA是圓M的直徑，

∴∠PBA=90°，

∴AO=OB=3，

又∵MO⊥AB，

∴PB∥MO，

∴PB=2OM=2

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），

在直角三角形ABP中，AB=6，PB=2，

根據(jù)勾股定理得：AP==4，

∴圓的半徑MC=2，

又∵OM=，

∴OC=MC﹣OM=，

則C（0，﹣）；

（2）連接BM，

∵BP=2，AP=4，

∴sin∠PAB=，

∴∠PAB=30°，

∴OM=AM=，

∴S△AMB=ABOM=×6×=3，

∵AM=BM，

∴∠AMB=120°，

∴S扇形AMB==4π，

∴S弓形ACB=4π﹣；

（3）BE=20E，理由如下：

∵AM=MC=2，AO=3，OC=，

∴AM=MC=AC=2，

∴△AMC為等邊三角形，

又∵AP為圓M的直徑，

∴∠ACP=90°

∴∠OCE=30°，

∴OE=1，BE=2，

∴BE=2OE．