Question

【題目】已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一點O為圓心，以OA為半徑的圓交AC于點D，交AB于點E．
（1）求證：ACAD=ABAE；
（2）如果BD是⊙O的切線，D是切點，E是OB的中點，當BC=2時，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接DE，

∵AE是直徑，

∴∠ADE=90°，

∴∠ADE=∠ABC，

∵∠DAE=∠BAC，

∴△ADE∽△ABC，

∴ = ，

∴ACAD=ABAE；

（2）解：連接OD，

∵BD是⊙O的切線，

∴OD⊥BD，

在RT△OBD中，OE=BE=OD，

∴OB=2OD，

∴∠OBD=30°，

同理∠BAC=30°，

在RT△ABC中，AC=2BC=2×2=4．

【解析】（1）連接DE，根據(jù)圓周角定理求得∠ADE=90°，得出∠ADE=∠ABC，進而證得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可求得結論；（2）連接OD，根據(jù)切線的性質求得OD⊥BD，在RT△OBD中，根據(jù)已知求得∠OBD=30°，進而求得∠BAC=30°，根據(jù)30°的直角三角形的性質即可求得AC的長．