Question

12．如圖，已知菱形ABCD的兩條對角線長分別是6和8，點M、N分別是邊BC、AB上的動點，在對角線AC上找一點P，使PM+PN有最小值，其最小值是$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 當(dāng)點N關(guān)于AC對稱點N′與P、M三點共線且與BC垂直時，易求NM的長就是PN+PM的最小值．

解答 解：如圖所示，當(dāng)點N關(guān)于AC對稱點N′與P、M三點共線且與BC垂直時，PN+PM有最小值．
∵菱形ABCD的兩條對角線長分別是6和8，
∴BC=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵MN′⊥BC，
∴S_菱形ABCD=BC•MN′=$\frac{1}{2}$BD•AC，
∴MN′=$\frac{\frac{1}{2}×6×8}{5}$=$\frac{24}{5}$，
即PM+PN的最小值是$\frac{24}{5}$，
故答案為：$\frac{24}{5}$．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)和軸對稱-最短路線問題，解題的關(guān)鍵是得到PM+PN的最小值為菱形ABCD中BC邊的高．