Question

2．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，AC的垂直平分線分別交AC，AD，AB于點E，O，F(xiàn)．
（1）求證：點O在AB的垂直平分線上；
（2）若∠CAD=20°，求∠BOF的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BO=AO，依此即可證明點O在AB的垂直平分線上；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAD=∠CAD=20°，∠CAB=40°，再根據(jù)垂直的定義，等腰三角形的性質(zhì)和角的和差故選即可得到∠BOF的度數(shù)．

解答 （1）證明：∵AB=AC，點D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∵AD是BC的垂直平分線，
∴BO=CO，
∵OE是AC的垂直平分線，
∴AO=CO，
∴BO=AO，
∴點O在AB的垂直平分線上；
（2）解：∵AB=AC，點D是BC的中點，
∴AD平分∠BAC，
∵∠CAD=20°，
∴∠BAD=∠CAD=20°，∠CAB=40°，
∵OE⊥AC，
∴∠EFA=90°-40°=50°，
∵AO=CO，
∴∠OBA=∠BAD=20°，
∴∠BOF=∠EFA-∠OBA=50°-20°=30°．

點評 考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，關鍵是熟練掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)．