Question

1．如圖1，已知線段AC∥y軸，點(diǎn)B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y軸與G，連OB、OC．
（1）判斷△AOG的形狀，并予以證明；
（2）若點(diǎn)B、C關(guān)于y軸對(duì)稱，求證：?AG=GB；?AO⊥OB．
（3）在（2）的條件下，如圖2，點(diǎn)M為OA上一點(diǎn)，且∠ACM=45°，連接CB交y軸于P點(diǎn)，求證：OB=OM．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件可證明∠GOA=∠GAO，由等腰三角形的判定可得AG=OG，所以△AOG是等腰三角形；
（2）由已知可得BK=KC，因?yàn)锳C∥y軸，可得GA=GB；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠GOB=∠GBO，∠AOG=∠OAG，所以∠AOG+∠BOG=∠OAG+∠OBG，即∠AOB=∠OAG+∠OBG，即可求得∠AOB=90°；
（3）先證得BM是∠ABC的平分線，設(shè)∠OBC=x，則x+∠POB=90°，而∠POA+∠POB=∠AOB=90°，求得x=∠POA，進(jìn)一步證得x=∠GAM．根據(jù)∠OMB=∠GAM+∠ABM=x+∠ABM=x+∠PBM=∠MBO，即可證得結(jié)論．

解答 解：（1）等腰三角形，
∵AC∥y軸，
∴∠OAC=∠AOG，
∵∠OAC=∠OAG，
∴∠AOG=∠OAG，
∴AG=OG，
∴△AOG是等腰三角形；
（2）如圖1，設(shè)BC交y軸于K，
∵點(diǎn)B、C關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴CK=BK，
∵AC∥y軸，
∴AG=BG，
∵AG=OG，
∴OG=BG，
∴∠GOB=∠GBO，
∵∠AOG=∠OAG，
∴∠AOG+∠BOG=∠OAG+∠OBG，即∠AOB=∠OAG+∠OBG，
∴∠AOB=90°
∴AO⊥BO．
（3）如圖2，∵∠ACM=45°，∠ACB=90°，
∴CM是∠ACB的平分線，
∵AM是∠BAC的平分線，
∴BM平分∠ABC，
設(shè)∠OBC=x，則x+∠POB=90°，而∠POA+∠POB=∠AOB=90°，
∴x=∠POA．
∵∠AOG=∠OAG，
∴x=∠GAM．
∴∠OMB=∠GAM+∠ABM
=x+∠ABM
=x+∠PBM
=∠MBO．
∴OB=OM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，題目的綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線．