Question

11．求代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$+$\sqrt{{x}^{2}-10x+34}$的最小值．

Answer 1

分析 首先把$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$+$\sqrt{{x}^{2}-10x+34}$化為$\sqrt{（x+1）^{2}+（0-1）^{2}}$+$\sqrt{（x-5）^{2}+（0-3）^{2}}$，于是得到A（-1，1），B（5，3），作出B（5，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（5，-3），連接AB′交x軸于點(diǎn)C，則AB′=AC+CB′為所要求的最小值．

解答 解：原式可化為：$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$+$\sqrt{{x}^{2}-10x+34}$=$\sqrt{（x+1）^{2}+（0-1）^{2}}$+$\sqrt{（x-5）^{2}+（0-3）^{2}}$，
設(shè)A（-1，1），B（5，3），作出B（5，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（5，-3），連接AB′交x軸于點(diǎn)C，則AB′=AC+CB′=AB+BC為所要求的最小值，
∵AB′=$\sqrt{（-1-5）^{2}+（1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$+$\sqrt{{x}^{2}-10x+34}$的最小值=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的最值問(wèn)題、軸對(duì)稱--最短路線問(wèn)題．解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+2x+2}$+$\sqrt{{x}^{2}-10x+34}$，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求x軸上一點(diǎn)到（-1，1）以及（5，3）兩點(diǎn)的和的最小值，并且利用了“兩點(diǎn)間線段最短”的知識(shí)點(diǎn)．