Question

【題目】已知線段OA⊥OB，C為OB上中點，D為AO上一點，連AC、BD交于P點．

（1）如圖1，當OA=OB且D為AO中點時，求的值；

（2）如圖2，當OA=OB，時，求tan∠BPC．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）．

【解析】

試題分析：（1）過D作BO的平行線，根據平行線分線段成比例定理，在△ACO中ED：CO=AD：AO，在△ADE和△PCB中，ED：BC=PE：PC，再根據C是BO的中點，可以求出PE：PC=1：2，再根據三角形中位線定理，E是AC的中點，利用比例變形求出AP與PC的比值等于2；

（2）同（1）的方法，先求出PC=AC，再過D作DF⊥AC于F，設AD為a，利用勾股定理求出AC等于2 a，再利用相似三角形對應邊成比例求出DF、AF的值，而PF=AC﹣AF﹣PC，也可求出，又∠BPC與∠FPD是對頂角，所以其正切值便可求出．

解：（1）過D作DE∥CO交AC于E，

∵D為OA中點，∴AE=CE=，，

∵點C為OB中點，

∴BC=CO，，

∴，

∴PC==，

∴=2；

（2）過點D作DE∥BO交AC于E，

∵，∴==，

∵點C為OB中點，∴，

∴，∴PC==，

過D作DF⊥AC，垂足為F，設AD=a，則AO=4a，

∵OA=OB，點C為OB中點，∴CO=2a，

在Rt△ACO中，AC===2 a，

又∵Rt△ADF∽Rt△ACO，∴，

∴AF=，DF=，

PF=AC﹣AF﹣PC=2 a﹣﹣=，

tan∠BPC=tan∠FPD==．