Question

【題目】閱讀下列材料，并按要求解答．

（模型建立）如圖①，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過(guò)B作BE⊥ED于點(diǎn)E．求證：△BEC≌△CDA．

（模型應(yīng)用）

應(yīng)用1：如圖②，在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，BC＝10，AB2＝200．求線段BD的長(zhǎng)．

應(yīng)用2：如圖 ③，在平面直角坐標(biāo)系中，紙片△OPQ為等腰直角三角形，QO＝QP，P（4，m），點(diǎn)Q始終在直線OP的上方．

（1）折疊紙片，使得點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，折痕所在的直線l過(guò)點(diǎn)Q且與線段OP交于點(diǎn)M，當(dāng)m＝2時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)和直線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若無(wú)論m取何值，點(diǎn)Q總在某條確定的直線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出這條直線的解析式　 　．

Answer 1

【答案】模型建立：見(jiàn)解析；應(yīng)用1：2；應(yīng)用2：（1）Q(1，3)，交點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)；（2）y＝﹣x+4

【解析】

根據(jù)AAS證明△BEC≌△CDA，即可；

應(yīng)用1：連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，易證△ADC≌△CHB，結(jié)合勾股定理，即可求解；

應(yīng)用2：（1）過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)Q作QK⊥y軸于點(diǎn)K，直線KQ和直線NP相交于點(diǎn)H，易得：△OKQ≌△QHP，設(shè)H(4，y)，列出方程，求出y的值，進(jìn)而求出Q(1，3)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得P(4，2)，即可得到直線l的函數(shù)解析式，進(jìn)而求出直線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)Q(x，y)，由△OKQ≌△QHP，KQ＝x，OK＝HQ＝y，可得：y＝﹣x+4，進(jìn)而即可得到結(jié)論．

如圖①，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∠ACB＝90°，

∴∠ADC＝∠BEC＝90°，

∴∠ACD+∠DAC＝∠ACD+∠BCE＝90°，

∴∠DAC＝∠BCE，

∵AC＝BC，

∴△BEC≌△CDA（AAS）；

應(yīng)用1：如圖②，連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

∵∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，

∴AC＝10，

∵BC＝10，AB2＝200，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，

∵∠ADC＝∠BHC＝∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝∠CBH，

∵AC＝BC＝10，

∴△ADC≌△CHB（AAS），

∴CH＝AD＝6，BH＝CD＝8，

∴DH=6+8=14，

∵BH⊥DC，

∴BD＝＝2；

應(yīng)用2：（1）如圖③，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)Q作QK⊥y軸于點(diǎn)K，直線KQ和直線NP相交于點(diǎn)H，

由題意易：△OKQ≌△QHP（AAS），

設(shè)H(4，y)，那么KQ＝PH＝y﹣m＝y﹣2，OK＝QH＝4﹣KQ＝6﹣y，

又∵OK＝y，

∴6﹣y＝y，y＝3，

∴Q(1，3)，

∵折疊紙片，使得點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，折痕所在的直線l過(guò)點(diǎn)Q且與線段OP交于點(diǎn)M，

∴點(diǎn)M是OP的中點(diǎn)，

∵P(4，2)，

∴M(2，1)，

設(shè)直線Q M的函數(shù)表達(dá)式為：y＝kx+b，

把Q(1，3)，M(2，1)，代入上式得：，解得：

∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣2x+5，

∴該直線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)；

（2）∵△OKQ≌△QHP，

∴QK＝PH，OK＝HQ，

設(shè)Q(x，y)，

∴KQ＝x，OK＝HQ＝y，

∴x+y＝KQ+HQ＝4，

∴y＝﹣x+4，

∴無(wú)論m取何值，點(diǎn)Q總在某條確定的直線上，這條直線的解析式為：y＝﹣x+4，

故答案為：y＝﹣x+4．