Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，PQ垂直平分BE，分別交AD、BE、BC于點(diǎn)P、O、Q，連接BP、EQ．

（1）求證：△BOQ≌△EOP；

（2）求證：四邊形BPEQ是菱形；

（3）若AB＝6，F為AB的中點(diǎn)，OF+OB＝9，求PQ的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）PQ＝．

【解析】

（1）先根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)證明PB=PE，由ASA證明△BOQ≌△EOP；
（2）由（1）得出PE=QB，證出四邊形ABGE是平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)可得AE+BE=2OF+2OB=18，設(shè)AE=x，則BE=18-x，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理可得62+x2=（18-x）2，BE=10，得到OB=BE=5，設(shè)PE=y，則AP=8-y，BP=PE=y，在Rt△ABP中，根據(jù)勾股定理可得62+（8-y）2=y2，解得y=，在Rt△BOP中，根據(jù)勾股定理可得PO=，由PQ=2PO即可求解．

（1）證明：∵PQ垂直平分BE，

∴PB＝PE，OB＝OE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠PEO＝∠QBO，

在△BOQ與△EOP中，

，

∴△BOQ≌△EOP（ASA），

（2）∵△BOQ≌△EOP

∴PE＝QB，

又∵AD∥BC，

∴四邊形BPEQ是平行四邊形，

又∵QB＝QE，

∴四邊形BPEQ是菱形；

（3）解：∵O，F分別為PQ，AB的中點(diǎn)，

∴AE+BE＝2OF+2OB＝18，

設(shè)AE＝x，則BE＝18﹣x，

在Rt△ABE中，62+x2＝（18﹣x）2，

解得x＝8，

BE＝18﹣x＝10，

∴OB＝BE＝5，

設(shè)PE＝y，則AP＝8﹣y，BP＝PE＝y，

在Rt△ABP中，62+（8﹣y）2＝y2，解得y＝，

在Rt△BOP中，PO＝，

∴PQ＝2PO＝．