Question

16．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的頂點為M，直線y=m與x軸平行，且與拋物線交于點A，B，若△AMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A，B兩點之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線對應(yīng)的準碟形，線段AB稱為碟寬，頂點M稱為蝶頂，點M到線段AB的距離稱為碟高．
（1）拋物線y=2x²對應(yīng)的碟寬為1；拋物線y=ax²對應(yīng)的碟寬為$\frac{2}{a}$；拋物線y=a（x-2）²+4（a＞0）對應(yīng)的碟寬為$\frac{2}{a}$．
（2）拋物線y=ax²-4ax-$\frac{5}{3}$（a＞0）對應(yīng)的碟寬為6，且在x軸上，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義易算出含具體值的拋物線y=2x²的碟寬，利用端點（第一象限）橫縱坐標的相等．推廣至含字母的拋物線y=ax²（a＞0），類似．而拋物線y=a（x-2）²+4（a＞0）為頂點式，可看成y=ax²平移得到，則發(fā)現(xiàn)碟寬只和a有關(guān)．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，根據(jù)碟寬易得關(guān)于a的方程$\frac{2}{a}$=6，解方程即可求得a的值．

解答 解：（1）∵a＞0，
∴y=ax²的圖象大致如下：

其必過原點O，記AB為其碟寬，AB與y軸的交點為C，連接OA，OB．
∵△OAB為等腰直角三角形，AB∥x軸，
∴OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴△ACO與△BCO亦為等腰直角三角形，
∴AC=OC=BC，
∴x_A=y_A，x_B=y_B，代入y=ax²，
∴A（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），B（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），C（0，$\frac{1}{a}$），
∴AB=$\frac{2}{a}$，OC=$\frac{1}{a}$，
即y=ax²的碟寬為$\frac{2}{a}$．
①拋物線y=2x²對應(yīng)的a=2，得碟寬$\frac{2}{a}$為1；
②拋物線y=ax²（a＞0），碟寬為$\frac{2}{a}$；
③拋物線y=a（x-2）²+4（a＞0）可看成y=ax²向右平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度后得到的圖形，
∵平移不改變形狀、大小、方向，
∴拋物線y=a（x-2）²+4（a＞0）的準碟形≌拋物線y=ax²的準碟，
∵拋物線y=ax²（a＞0），碟寬為$\frac{2}{a}$，
∴拋物線y=a（x-2）²+4（a＞0），碟寬為$\frac{2}{a}$．

（2）∵y=ax²-4ax-$\frac{5}{3}$=a（x-2）²-（4a+$\frac{5}{3}$），
∴同（1），其碟寬為$\frac{2}{a}$，
∵y=ax²-4ax-$\frac{5}{3}$的碟寬為6，
∴$\frac{2}{a}$=6，
解得a=$\frac{1}{3}$．
故答案為：1；$\frac{2}{a}$；$\frac{2}{a}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題，題目中主要涉及特殊直角三角形，二次函數(shù)解析式與圖象性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由拋物線y=ax²（a＞0），得到碟寬只和a有關(guān)，即碟寬為$\frac{2}{a}$．