Question

19．如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長(zhǎng)BG交CD于F點(diǎn)，若CF=2，F(xiàn)D=4，則BC的長(zhǎng)為（　　）

• A． 6$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{5}$
• D． 4$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 首先過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC于M，交BF于N，易證得△ENG≌△BNM（AAS），MN是△BCF的中位線，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求得GN=MN，由折疊的性質(zhì)，可得BG=6，繼而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的長(zhǎng)．

解答 解：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC于M，交BF于N，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，
∵∠EMB=90°，
∴四邊形ABME是矩形，
∴AE=BM，
由折疊的性質(zhì)得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，
∴EG=BM，
在△ENG與△BNM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ENG=∠BNM}\\{∠EGN=∠A}\\{AE=GE}\end{array}\right.$，
∴△ENG≌△BNM（AAS），
∴NG=NM，
∴CM=DE，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=ED=BM=CM，
∵EM∥CD，
∴BN：NF=BM：CM，
∴BN=NF，
∴NM=$\frac{1}{2}$CF=1，
∴NG=1，
∵BG=AB=CD=CF+DF=6，
∴BN=BG-NG=6-1=5，
∴BF=2BN=10，
∴BC=$\sqrt{B{F}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{6}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了矩形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．