Question

8．如圖，菱形ABCD中，∠D=135°，AD=6，CE=2$\sqrt{2}$，點P是線段AC上一動點，點F是線段AB上一動點，則PE+PF的最小值是（　�。�

• A． 3
• B． 6
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先作點E關(guān)于AC的對稱點點G，再連接BG，過點B作BH⊥CD于H，運用勾股定理求得BH和GH的長，最后在Rt△BHG中，運用勾股定理求得BG的長，即為PE+PF的最小值．

解答 解：作點E關(guān)于AC的對稱點點G，連接PG、PE，則PE=PG，CE=CG=2$\sqrt{2}$，
連接BG，過點B作BH⊥CD于H，則∠BCH=∠CBH=45°，
∴Rt△BHC中，BH=CH=$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴HG=3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴Rt△BHG中，BG=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
∵當點F與點B重合時，PE+PF=PG+PB=BG（最短），
∴PE+PF的最小值是2$\sqrt{5}$．
故選（C）

點評 本題以最短距離問題為背景，主要考查了菱形的性質(zhì)與軸對稱的性質(zhì)，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，一般情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．注意：如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．