Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A坐標為（1，0），以O(shè)A為邊在第一象限內(nèi)作等邊△OAB，C為x軸正半軸上一動點（OC＞1），連接BC，以BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△BCD，直線DA交y軸于E點．
（1）如圖，當C點在x軸上運動時，設(shè)AC=x，請用x表示線段AD的長；
（2）隨著C點的變化，直線AE的位置變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，請求出直線AE的解析式； 
（3）設(shè)四邊形ABCD的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由△OAB和△BCD都為等邊三角形，等邊三角形的邊長相等，且每一個內(nèi)角都為60°，得到∠OBA=∠DBC，等號兩邊都加上∠ABC，得到∠OBC=∠ABD，根據(jù)“SAS”得到△OBC≌△ABD，即可得到對應(yīng)邊AD與OC相等，由OC表示出AD即可；
（2）隨著C點的變化，直線AE的位置不變．理由為：由（1）得到的兩三角形全等，得到∠BAD=∠BOC=60°，又等邊三角形BCD，得到∠BAO=60°，根據(jù)平角定義及對頂角相等得到∠OAE=60°，在直角三角形OAE中，由OA的長，根據(jù)tan60°的定義求出OE的長，確定出點E的坐標，設(shè)出直線AE的方程，把點A和E的坐標代入即可確定出解析式；
（3）作BM⊥OC，DN⊥OC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得BN，然后求得△OAE∽△NAD，從而求得DN，最后根據(jù)S=S_△ABD+S_△ADC=S_△OBC+S_△ADC即可求得S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵△OAB和△BCD都為等邊三角形，
∴OB=AB，BC=BD，
∠OBA=∠DBC=60°，即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，
∴∠OBC=∠ABD，
∴△OBC≌△ABD，
∴AD=OC=1+x；

（2）隨著C點的變化，直線AE的位置不變．理由如下：
由△OBC≌△ABD，得到∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠BAO=60°，
∴∠DAC=60°，
∴∠OAE=60°，又OA=1，
在直角三角形AOE中，tan60°=

OE

OA

，
則OE=

3

，點E坐標為（0，-

3

），A（1，0），
設(shè)直線AE解析式為y=kx+b，把E和A的坐標代入得：

k+b=0 b=- 3

，
解得：

k= 3 b=- 3

，
所以直線AE的解析式為y=

3

x-

3

；

（3）∵E（0，-

3

），A（1，0），
∴AE=2，
作BM⊥OC，DN⊥OC，
∴∠AOE=∠AND=90°，
∵∠OAE=∠NAD，
∴△OAE∽△NAD，
∴

OE

AE

=

DN

AD

，
∵OE=

3

，AE=2，AD=1+x，
∴DN=

3

2

（1+x），
∵等邊三角形OAB是邊長為1，
∴BM=

3

2

，
∴S=S_△ABD+S_△ADC=S_△OBC+S_△ADC=

1

2

OC•BM+

1

2

AC•DN=

1

2

（1+x）×

3

2

+

1

2

x×

3

2

（1+x）=

3

4

+

3

2

x+

3

4

x²，
即S=

3

4

+

3

2

x+

3

4

x²．

點評：此題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)．求得△OBC≌△ABD是本題的關(guān)鍵．