Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx(a＜0）過點(diǎn)E(10,0)，矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)C，D在拋物線上．設(shè)A(t,0)，當(dāng)t=2時(shí)，AD=4．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng)，向右平移拋物線．當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線GH平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)t=1時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值，最大值為；（3）拋物線向右平移的距離是4個(gè)單位．

【解析】

（1）由點(diǎn)E的坐標(biāo)設(shè)拋物線的交點(diǎn)式，再把點(diǎn)D的坐標(biāo)（2，4）代入計(jì)算可得；
（2）由拋物線的對(duì)稱性得BE=OA=t，據(jù)此知AB=10-2t，再由x=t時(shí)AD=，根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式列出函數(shù)解析式，配方成頂點(diǎn)式即可得；
（3）由t=2得出點(diǎn)A、B、C、D及對(duì)角線交點(diǎn)P的坐標(biāo)，由直線GH平分矩形的面積知直線GH必過點(diǎn)P，根據(jù)AB∥CD知線段OD平移后得到的線段是GH，由線段OD的中點(diǎn)Q平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是P知PQ是△OBD中位線，據(jù)此可得．

（1）設(shè)拋物線解析式為，

當(dāng)時(shí)，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

將點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得，

解得：，

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；

（2）由拋物線的對(duì)稱性得，

，

當(dāng)時(shí)，，

矩形的周長(zhǎng)

，

，

，

，

當(dāng)時(shí)，矩形的周長(zhǎng)有最大值，最大值為；

（3）如圖，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、、、的坐標(biāo)分別為、、、，

矩形對(duì)角線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，

直線平分矩形的面積，

點(diǎn)是和的中點(diǎn)，

，

由平移知，

是的中位線，

，

所以拋物線向右平移的距離是4個(gè)單位．