Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，P是BC上一點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，PD平分∠APC，PE⊥PD，連接DE交AP于F，在以下判斷中，不正確的是（ ）

A.當(dāng)P為BC中點(diǎn)，△APD是等邊三角形
B.當(dāng)△ADE∽△BPE時(shí)，P為BC中點(diǎn)
C.當(dāng)AE=2BE時(shí)，AP⊥DE
D.當(dāng)△APD是等邊三角形時(shí)，BE+CD=DE

Answer 1

【答案】B
【解析】解：A、∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠B，
∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，
∴PB=PC，
在△APB和△DPC中， ，
∴△APB≌△DPC，
∴PA=PD，∠APB=∠DPC，
∵PD平分∠APC，
∴∠APD=∠CPD，
∴∠APB=∠APD=∠CPD，
∵∠APB+∠APD+∠CPD=180°，
∴∠APD=60°，
∵PA=PD，
∴△APD是等邊三角形；
∴A正確，故A不符合題意；
C、∵PD⊥PE，
∴∠BPE+∠DPC=90°，∠APE+∠APD=90°，
∵∠APD=∠CPD，
∴∠APE=∠BPE，
∴ ，
∵AE=2BE，
∴ ，
在Rt△ABP中，sin∠BAP= ，
∴∠BAP=30°，
∴∠APB=60°，
∴∠BPE=∠APE=30°=∠BAP，
∴AE=PE，
∵EA⊥AD，EP⊥PD，
∴∠ADE=∠PDE，
在△ADE和△PDE中， ，
∴△ADE≌△PDE，
∴∠AED=∠PED，
∵AE=PE，
∴DE⊥AP，
∴C正確，故C不符合題意；
D、∵△APD是等邊三角形，
∴AP=DP，∠APD=60°，
∴∠CPD=60°，
∴∠APB=60°，
∴∠BPE=∠APE=∠PAB=30°
∴AE=PE
設(shè)BE=a，
在Rt△PBE中，BP= BE= a，PE=2a，
∴AE=2a，
∴CD=AB=BE+AE=3a，
易證△APB≌△DPC，
∴PB=PC，
∴AD=BC=2BP=2 a，
在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得，DE= =4a，
∵BE+CD=a+3a=4a=DE，
∴D正確，故D不符合題意；
∴符合題意的只有B．
故選B．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解角平分線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識(shí)，掌握定理1：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 定理2：一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上．