Question

2．已知：在正方形ABCD中，AB=2，點P是射線AB上的一點，聯(lián)結(jié)PC、PD，點E、F分別是AB和PC的中點，聯(lián)結(jié)EF交PD于點Q．
（1）如圖1，當點P與點B重合時，△QPE的形狀是等腰直角三角形
（2）如圖2，當點P在AB的延長線上時，設(shè)BP=x，EF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（3）當點Q在邊BC上時，求BP的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC，∠ABC=90°，根據(jù)等式的性質(zhì)得到PE=PF，即可得到結(jié)論；
（2）延長BA到點M，使得AM=BP，連接CM，根據(jù)已知條件得到EM=EP，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到EF=$\frac{1}{2}$MC，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠MBC=90°，AB=BC，由已知條件得到BM=2+x．根據(jù)勾股定理得到MC=$\sqrt{B{M}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{4+（x+2）^{2}}$，于是得到結(jié)論；
（3）當點Q在邊BC上時，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠M=∠QEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠M=∠APD，推出QE=QP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）△QPE的形狀是等腰直角三角形，
理由：∵正方形ABCD中，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABD=∠CBD=45°，
∵點P與點B重合，
∴AP=PC，∠APC=90°，
∵點E、F分別是AB和PC的中點，
∴PE=$\frac{1}{2}$AP，PF=$\frac{1}{2}$PC，
∴PE=PF，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∵∠ABD=∠CBD，
∴EF⊥PQ，PQ=EQ=FQ，
故答案為：等腰直角三角形；

（2）延長BA到點M，使得AM=BP，連接CM，
∵AE=BE，
∴AE+AM=BE+BP，
即EM=EP，
∵PF=CF，
∴EF=$\frac{1}{2}$MC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠MBC=90°，AB=BC，
∵AB=2，BP=AM=x，
∴BM=2+x．
∴MC=$\sqrt{B{M}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{4+（x+2）^{2}}$，
∴EF=$\frac{1}{2}\sqrt{{x^2}+4x+8}$，
∴y=$\frac{1}{2}\sqrt{{x^2}+4x+8}$（x＞0）；

（3）當點Q在邊BC上時，由（2）可知EF∥MC，
∴∠M=∠QEB，
∵在△ADP和△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠PAD=∠MBC=90°}\\{AP=BM}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△BCM，
∴∠M=∠APD，
∴∠QEB=∠APD，
∴QE=QP，
∵QB⊥PE，
∴BP=BE=$\frac{1}{2}$AB=1．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．