Question

12．如圖（1），已知E是正方形ABCD的邊AB上一點(diǎn)，過D作DF⊥DE交BC的延長(zhǎng)線于F，連按EF，BD．
（1）求證：∠BDE=∠BFE；
（2）若EI平分∠BEF交BD于I，求$\frac{DI}{EF}$的值；
（3）如圖（2），P是CE的中點(diǎn)，若AP⊥PQ交∠ADC的外角平分線于Q，連接AQ，求$\frac{AQ}{AP}$的值．

Answer 1

分析 （1）由△DAE≌△DCF推出△DEF是等腰直角三角形，得到∠DEO=∠OBF，由此根據(jù)“8字型”性質(zhì)即可解決問題．
（2）只要證明DI=DE，即可解決問題．
（3）如圖2中，連接PB、PD，延長(zhǎng)AD、PQ交于點(diǎn)O，只要證明△APQ是等腰直角三角形即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠A=∠DCB=∠DCF=∠ADC=90°，
∵∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCF}\\{DA=DC}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DCF，
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DBF=45°，
∵∠EOD=∠BOF，
∴∠EDB=∠BFE．

（2）如圖1中，∵EI平分∠BEF，
∴∠BEI=∠FEI，
∵∠EID=∠EBI+∠BEI=45°+∠BEI，∠DEI=∠DEF+∠FEI=45°+∠FEI，
∴∠DEI=∠DIE，
∴DI=DE，
∴$\frac{DI}{EF}$=$\frac{DE}{EF}$=cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

（3）如圖2中，連接PB、PD，延長(zhǎng)AD、PQ交于點(diǎn)O．

在Rt△CBE中，∵PE=PC，
∴PB=PE=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠DCP，
∵AB=CD，
∴△ABP≌△DCP，
∴PA=PD，
∠BAD=∠PDA，
∴∠PAB=∠PDC，
∵∠Q+∠PAQ=90°，∠PAB+∠PAQ=90°，
∴∠O=∠PAB=∠PDC，
∵∠PQD=∠O+∠QDO=45°+∠O，∠PDQ=∠PDC+∠CDQ=45°+∠PDC，
∴∠PQD=∠PDQ，
∴PD=PQ=PA，
∵∠APQ=90°，
∴△PAQ是等腰直角三角形，
∴$\frac{AQ}{AP}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．