Question

15．如圖所示，△ABC為等邊三角形，BD為中線，延長BC至E，使 DE=BD．
求證：（1）CE=$\frac{1}{2}$BC．
（2）把（1）中的BD為中線換成其它什么條件也能得到同樣的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件，△ABC為等邊三角形，BD為中線，可知∠DBE=30°，∠DCE=120°，∠CDE=30°，求得CD=CE即可解答．
（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)解答即可．

解答 證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，BD為中線，
∴AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC，∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°．
∵DE=BD，
∴∠DBC=∠DEC=30°．
又∵∠ACB=60°，是△DCE的一個外角，
∴∠EDC=∠ACB-∠DEC=60°-30°=30°．
∴CE=$\frac{1}{2}$BC．
（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)：把（1）中的BD為中線換成BD是高或是∠ABC的角平分線也能得到同樣的結(jié)論．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；巧妙利用三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．