Question

【題目】如圖，△ABC和△DEF均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，△DEF的頂點(diǎn)D為△ABC的一邊BC的中點(diǎn)，△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，且邊DF、DE始終分別交△ABC的邊AB、AC于點(diǎn)H、G，圖中直線BC兩側(cè)的圖形關(guān)于直線BC成軸對(duì)稱．連結(jié)HH′、HG、GG′、H′G′，其中HH′、GG′分別交BC于點(diǎn)I、J．

（1）求證：△DHB∽△GDC；

（2）設(shè)CG=x，四邊形HH′G′G的面積為y，

①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍．

②求當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大，最大值為多少？

Answer 1

【答案】(1)證明詳見解析；(2)①y=（+x）（4﹣﹣）（1≤x≤4）；②x=2時(shí)，=.

【解析】

試題分析：（1）由等邊三角形的特點(diǎn)得到相等關(guān)系即可；

（2）由相似三角形得到，再結(jié)合對(duì)稱，表示出相關(guān)的線段，四邊形HH′G′G的面積為y求出即可．

試題解析：（1）在正△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠BHD+∠BDH=120°，

在正△DEF中，∠EDF=60°，

∴∠GDC+∠BDH=120°，

∴∠BHD=∠GDC，

∴△DHB∽△GDC，

（2）①∵D為BC的中點(diǎn)，

∴BD=CD=2，

由△DHB∽△GDC，

∴，

即：，

∴BH=，

∵H，H′和G，G′關(guān)于BC對(duì)稱，

∴HH′⊥BC，GG′⊥BC，

∴在RT△BHI中，BI=BH=，HI=BH=，

在RT△CGJ中，CJ=CG=，GJ=CG=，

∴HH′=2HI=，GG’=2GJ=x，IJ=4﹣﹣，

∴y=（+x）（4﹣﹣）（1≤x≤4）；

②由①得，y=，

設(shè)=a，得y=，

當(dāng)a=4時(shí)，=，

此時(shí)=4，解得x=2．