Question

12．如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，AF平分∠BAC，交BD于點(diǎn)F．
（1）求證：EF+$\frac{1}{2}$AC=AB；
（2）點(diǎn)C₁從點(diǎn)C出發(fā)，沿著線段CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），同時(shí)點(diǎn)A₁從點(diǎn)A出發(fā)，沿著BA的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C₁與點(diǎn)A₁的運(yùn)動(dòng)速度相同，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C₁停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)A₁也隨之停止運(yùn)動(dòng)，如圖2，A₁F₁平分∠BA₁C₁，交BD于點(diǎn)F₁，過點(diǎn)F₁作F₁E₁⊥A₁C₁于點(diǎn)E₁．
 ①說明點(diǎn)F₁在∠A₁C₁B的平分線上．
 ②試猜想2E₁F₁、A₁C₁與2AB三者之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

分析 （1）作輔助線構(gòu)建直角△AFG，證明△AGF≌△AEF即可得出結(jié)論；
（2）先作輔助線構(gòu)建直角三角形，①利用角分線性質(zhì)得E₁F₁=PF₁=QF₁，證明Rt△QF₁C₁≌Rt△E₁F₁C₁，得出對(duì)應(yīng)角相等，則C₁F₁是∠A₁C₁B的平分線，得出結(jié)論；
②同理得Rt△AF₁E₁≌Rt△A₁F₁P，則A₁E₁=A₁P，利用邊的和與差的關(guān)系得出2AB=A₁C₁+2E₁F₁．

解答 證明：（1）如圖1，過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，
∵∠1=∠2，∠3=∠4=90°，AF=AF，
∴△AGF≌△AEF，
∴AE=AG，EF=FG，
∴AB=AG+BG=AE+EF，
∵AE=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF+$\frac{1}{2}$AC=AB；
（2）如圖2，連接F₁C₁，過點(diǎn)F₁作F₁P⊥A₁B于P，F(xiàn)₁Q⊥BC于點(diǎn)Q，
①∵A₁F₁平分∠BA₁C₁，F(xiàn)₁E₁⊥A₁C₁，
∴E₁F₁=PF₁，
同理得：QF₁=PF₁，
∴E₁F₁=PF₁=QF₁，
∴Rt△QF₁C₁≌Rt△E₁F₁C₁，
∴∠QC₁F₁=∠E₁C₁F₁，
∴C₁F₁平分∠A₁C₁B，
∴點(diǎn)F₁在∠A₁C₁B的平分線上；
②2AB=A₁C₁+2E₁F₁，理由是：
∵Rt△AF₁E₁≌Rt△A₁F₁P，
∴A₁E₁=A₁P，
∴Rt△QF₁C₁≌Rt△E₁F₁C₁，
∴QC₁=E₁C₁，
∵A₁A=C₁C，
∴A₁B+BC₁=AB+A₁A+BC-C₁C=AB+BC=2AB，
∵PB=PF₁=QF₁=QB，
∴A₁B+BC₁=A₁P+PB+QB+C₁Q=A₁P+C₁Q+2E₁F₁，
即2AB=A₁E₁+C₁E₁+2E₁F₁=A₁C₁+2E₁F₁．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)證明邊相等，再證明兩直角三角形全等；在證明線段的和時(shí)，有兩個(gè)思路：①接：延長(zhǎng)較短線段至等于較長(zhǎng)線段；②截：在較長(zhǎng)線段上截取較短線段；本題運(yùn)用了第二個(gè)思路．