Question

6．如圖，已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的圖象經(jīng)過點$A（-\sqrt{3}，2）$，過點A作AB⊥x軸于點B，連結(jié)AO．
（1）求k的值；
（2）如圖，若直線y=ax+b經(jīng)過點A，與x軸相交于點C，且滿足S_△ABC=2S_△AOC．求：
①直線y=ax+b的表達式；
②記直線y=ax+b與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的另一交點為D（n，-1），試求△AOD的面積S_△AOD以及使得不等式ax+b＞$\frac{k}{x}$成立的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由點A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出k值；
（2）①根據(jù)S_△ABC=2S_△AOC可得出OB=OC，再由點A的坐標(biāo)即可得出點B、C的坐標(biāo)，結(jié)合點A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的表達式；
②根據(jù)點D的縱坐標(biāo)即可求出點D的坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積公式可求出△AOD的面積，再根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系結(jié)合交點的橫坐標(biāo)，即可得出不等式的解．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的圖象經(jīng)過點A（-$\sqrt{3}$，2），
∴k=-$\sqrt{3}$×2=-2$\sqrt{3}$．
（2）①∵S_△ABC=2S_△AOC，
∴BC=2OC，
∴OB=OC．
∵點A（-$\sqrt{3}$，2），
∴點B（-$\sqrt{3}$，0），點C（$\sqrt{3}$，0）．
將點A（-$\sqrt{3}$，2）、C（$\sqrt{3}$，0）代入y=ax+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}a+b=2}\\{\sqrt{3}a+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線AC的表達式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1．
②連接OD，如圖所示．
∵點D（n，-1），
∴n=-2$\sqrt{3}$÷（-1）=2$\sqrt{3}$．
S_△AOD=$\frac{1}{2}$OC•（y_A-y_B）=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×[2-（-1）]=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
觀察函數(shù)圖象，可知：
當(dāng)x＜-$\sqrt{3}$或0＜x＜2$\sqrt{3}$時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，
∴不等式ax+b＞$\frac{k}{x}$的解為x＜-$\sqrt{3}$或0＜x＜2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出k值；（2）利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；（3）根據(jù)函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系解不等式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，找出點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．