Question

1．如圖，∠ABD和∠BDC兩個角的平分線交于點E，DE的延長線交AB于F．
（1）如果∠1+∠2=90°，那么AB與CD平行嗎？請說明理由；
（2）如果AB∥CD，那么∠2和∠3互余嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質可得出∠ABD=2∠2，∠BDC=2∠1，再由∠1+∠2=90°可得出∠ABD+∠BDC=180°，依據(jù)“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”即可得出結論；
（2））根據(jù)平行線的性質可得出∠ABD=2∠2，∠BDC=2∠1，∠EBF=∠2，再由AB∥CD可得出∠ABD+∠BDC=180°，根據(jù)角的關系即可得出∠1+∠2=90°，結合直角三角形的性質及等量替換即可得出∠2+∠3=90°，此題得解．

解答 解：（1）平行，理由如下：
∵DE平分∠BDC，BE平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠2，∠BDC=2∠1，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABD+∠BDC=2×（∠1+∠2）=180°，
∴AB∥CD．
（2）互余，理由如下：
∵DE平分∠BDC，BE平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠2，∠BDC=2∠1，∠EBF=∠2，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠BED=90°，∠BEF=90°，
∴∠EBF+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
即∠2和∠3互余．

點評 本題考查了平行線段的判定及性質、余角和補角以及角的計算，解題的關鍵是：（1）找出∠ABD+∠BDC=180°；（2）找出∠2+∠3=90°．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，牢記平行線的判定及性質是關鍵．