Question

1．如圖，∠ABD和∠BDC兩個(gè)角的平分線交于點(diǎn)E，DE的延長(zhǎng)線交AB于F．
（1）如果∠1+∠2=90°，那么AB與CD平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）如果AB∥CD，那么∠2和∠3互余嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠ABD=2∠2，∠BDC=2∠1，再由∠1+∠2=90°可得出∠ABD+∠BDC=180°，依據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”即可得出結(jié)論；
（2））根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠ABD=2∠2，∠BDC=2∠1，∠EBF=∠2，再由AB∥CD可得出∠ABD+∠BDC=180°，根據(jù)角的關(guān)系即可得出∠1+∠2=90°，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)及等量替換即可得出∠2+∠3=90°，此題得解．

解答 解：（1）平行，理由如下：
∵DE平分∠BDC，BE平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠2，∠BDC=2∠1，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABD+∠BDC=2×（∠1+∠2）=180°，
∴AB∥CD．
（2）互余，理由如下：
∵DE平分∠BDC，BE平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠2，∠BDC=2∠1，∠EBF=∠2，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠BED=90°，∠BEF=90°，
∴∠EBF+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
即∠2和∠3互余．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線段的判定及性質(zhì)、余角和補(bǔ)角以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是：（1）找出∠ABD+∠BDC=180°；（2）找出∠2+∠3=90°．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，牢記平行線的判定及性質(zhì)是關(guān)鍵．