(2007•茂名)如圖,點(diǎn)A,B,C,D是直徑為AB的⊙O上四個(gè)點(diǎn),C是劣弧的中點(diǎn),AC交BD于點(diǎn)E,AE=2,EC=1.
(1)求證:△DEC∽△ADC;
(2)試探究四邊形ABCD是否是梯形?若是,請(qǐng)你給予證明并求出它的面積;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)延長(zhǎng)AB到H,使BH=OB.求證:CH是⊙O的切線(xiàn).

【答案】分析:(1)C是劣弧的中點(diǎn),根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等就可以證明角相等,從而證明△DEC∽△ADC;
(2)首先利用(1)的結(jié)論求出DC,再利用勾股定理計(jì)算AB,根據(jù)計(jì)算結(jié)果可以判定四邊形OBCD是菱形,然后判斷四邊形ABCD是梯形;
(3)利用(2)的結(jié)論OC⊥BD,OG=GC,再利用平行線(xiàn)的判定方法知道BG∥CH,這樣根據(jù)切線(xiàn)的判定方法就可以判定了.
解答:(1)證明:∵C是劣弧的中點(diǎn),
∴∠DAC=∠CDB.(1分)
∵∠ACD=∠ACD,
∴△DEC∽△ADC.(3分)

(2)解:連接OD,

∵CE=1,AC=AE+EC=2+1=3,
∴DC2=AC•EC=3×1=3.
∴DC=.(4分)
∵BC=DC=,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°.
∴AB2=AC2+CB2=32+(2=12.
∴AB=
∴OD=OB=BC=DC=
∴四邊形OBCD是菱形.
∴DC∥AB,DC<AB.
∴四邊形ABCD是梯形.(5分)
法一:
過(guò)C作CF垂直AB于F,連接OC,則OB=BC=OC=
∴∠OBC=60°.(6分)
∴sin60°=,
CF=BC•sin60°=
∴S梯形ABCD=CF(AB+DC)=.(7分)
法二:(接上證得四邊形ABCD是梯形)
∵DC∥AB,
∴AD=BC.
連接OC,則△AOD,△DOC和△OBC的邊長(zhǎng)均為的等邊三角形.(6分)
∴△AOD≌△DOC≌△OBC.
∴S梯形ABCD=3•S△AOD=.(7分)

(3)證明:連接OC交BD于G.
由(2)得四邊形OBCD是菱形.
∴OC⊥BD且OG=GC.(8分)
∵OB=BH,
∴BG∥CH.(9分)
∴∠OCH=∠OGB=90°.
∴CH是⊙O的切線(xiàn).(10分)
點(diǎn)評(píng):此題綜合性比較強(qiáng),把梯形放在圓中,解題利用了梯形的判定和面積公式,解直角三角形,圓的切線(xiàn)的判定等幾個(gè)知識(shí)點(diǎn).
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(1)若把△ADE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一定的角度時(shí),能否與△CDF重合?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)現(xiàn)把△DCF向左平移,使DC與AB重合,得△ABH,AH交ED于點(diǎn)G.求證:AH⊥ED,并求AG的長(zhǎng).

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A.12≤a≤13
B.12≤a≤15
C.5≤a≤12
D.5≤a≤13

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