Question

15．（1）如圖1已知△ABC，若P點(diǎn)是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點(diǎn)，直接寫(xiě)出∠P與∠A的關(guān)系．
（2）利用第（1）題的結(jié)論，請(qǐng)繼續(xù)研究
如圖，四邊形ABCD中，∠F為四邊形ABCD的∠ABC的角平分線及外角∠DCE的平分線所在的直線構(gòu)成的銳角，若設(shè)∠A=α，∠D=β；
①如圖2，α+β＞180°，則∠F=$\frac{1}{2}$（α+β）-90°；（用α．β表示），并說(shuō)明理由；
②如圖3，α+β＜180°，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出∠F，且∠F=90°-$\frac{1}{2}$（α+β）：（用α，β表示）并說(shuō)明理由；
③一定存在∠F嗎？如有，直接寫(xiě)出∠F的值；如不一定，請(qǐng)直接指出α，β滿足什么條件時(shí)，∠F不一定存在α+β=180°．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠PCE=∠P+∠PBC，∠ACE=∠A+∠ABC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得解；
（2）①根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根據(jù)角平分線的定義可得∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCE=$\frac{1}{2}$∠DCE，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠F+∠FBC=∠FCE，然后整理即可得解；
②同①的思路求解即可；
③根據(jù)∠F的表示，∠F為0時(shí)不存在．

解答 解：（1）∠PCE=∠P+∠PBC，∠ACE=∠A+∠ABC，
∵P點(diǎn)是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點(diǎn)，
∴2∠PCE=∠ACE，2∠PBC=∠ABC，
∴2（∠P+∠PBC）=∠A+∠ABC，
2∠P+2∠PBC=∠A+∠ABC，
2∠P+∠ABC=∠A+∠ABC，
∴2∠P=∠A；
（2）①由四邊形內(nèi)角和定理得，∠BCD=360°-∠A-∠D-∠ABC，
∴∠DCE=180°-（360°-∠A-∠D-∠ABC）=∠A+∠D+∠ABC-180°，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠DCE=∠A+∠D+∠ABC，∠FCE=∠F+∠FBC，
∵BF、CF分別是∠ABC和∠DCE的平分線，
∴∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCE=$\frac{1}{2}$∠DCE，
∴∠F+∠FBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D+∠ABC-180°）=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）+$\frac{1}{2}$∠ABC-90°，
∴∠F=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）-90°，
∵∠A=α，∠D=β，
∴∠F=$\frac{1}{2}$（α+β）-90°；
②如圖3，

同①可求，∠F=90°-$\frac{1}{2}$（α+β）；
③∠F不一定存在，當(dāng)α+β=180°時(shí)，∠F=0，不存在．
故答案為：①$\frac{1}{2}$（α+β）-90°，②90°-$\frac{1}{2}$（α+β），③α+β=180°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和公式，此類題目根據(jù)同一個(gè)解答思路求解是解題的關(guān)鍵．