Question

【題目】如圖，已知：在坐標平面內，等腰直角中，，，點的坐標為，點的坐標為，交軸于點.

（1）求點的坐標；

（2）求點的坐標；

（3）如圖，點在軸上，當的周長最小時，求出點的坐標；

（4）在直線上有點，在軸上有點，求出的最小值.

Answer 1

【答案】（1）點的坐標為；（2）點的坐標為；（3）點的坐標為；（4）最小值為9.

【解析】

（1）過C作直線EF∥x軸，分別過點A、B作直線EF的垂線，垂足分別為E、F，證明ΔACE≌ΔCBF，得到CF=AE，BF=CE，即可得到結論；

（2）分別過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為G、H易證ΔAGD≌ΔBHD，得到GD=HD．由G(-3，0)，H(1，0)，即可得到結論；

（3）作點A(-5，1)關于軸的對稱點A' (-5，-1)，連接AP，A' P，A' C．過A' 作A' R⊥y軸于R，則AP=A' P，根據(jù)ΔACP的周長=AC+AP+CP=AC+A'P+CP≥AC+A'C．根據(jù)△A'RC和△COP都是等腰直角三角形，得到PO=CO=4，從而得到結論．

（4）作點B關于直線AC的對稱點B'．過B'作B'R⊥y軸于R，過B作BT⊥y軸于T．可證明△B'RC≌△BTC，根據(jù)全等三角形對應邊相等可B'的坐標．過點B'作x軸的垂線交直線AC于點M，交x軸于點N，則BM+MN=B'M+MN．根據(jù)“垂線段最短”可得它的最小值即線段B'N的長．即可得到結論．

（1）如圖，過C作直線EF∥x軸，分別過點A、B作直線EF的垂線，垂足分別為E、F，

∴∠E=∠F=90°，

∴∠EAC+∠ECA=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠BCF+∠ECA=90°，

∴∠BCF=∠EAC．

又∵AC=BC，

∴ΔACE≌ΔCBF，

∴CF=AE，BF=CE．

∵點A(-5，1)，點C(0，4)，

∴CF=AE=3，BF=CE=5，且5-4=1，

∴點B的坐標為(3，-1)；

（2）如圖，分別過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為G、H，

∴∠AGD=∠BHD=90°．

又∵∠ADG=∠BDH，AG=BH=1，

∴ΔAGD≌ΔBHD，

∴GD=HD．

∵G(-3，0)，H(1，0)，

∴GH=4，

∴GD=HD=2，

∴OD=OG-GD=3-2=1，

∴點D的坐標為(-1，0)；

（3）作點A(-5，1)關于軸的對稱點A' (-5，-1)，連接AP，A' P，A' C．過A' 作A' R⊥y軸于R．

則AP=A' P，

∴ΔACP的周長=AC+AP+CP=AC+A'P+CP≥AC+A'C．

∵A'R=5，CR=CO+OR=4+1=5，

∴A'R=CR，

∴△A'RC是等腰直角三角形，

∴∠CA'R=45°．

∵A'R∥x軸，

∴∠CPO=∠CA'R=45°，

∴△COP是等腰直角三角形，

∴PO=CO=4，

∴點P的坐標為(-4，0)．

（4）如圖，作點B(3，-1)關于直線AC的對稱點B'．過B'作B'R⊥y軸于R，過B作BT⊥y軸于T．

∵BC=B'C，∠B'RC=∠BTC=90°，∠B'CR=∠BCT，

∴△B'RC≌△BTC，

∴B'R=BT=3，CR=CT=CO+OT=4+1=5，

∴OR=OC+CR=4+5=9，

∴B'(-3，9)．

過點B'作x軸的垂線交直線AC于點M，交x軸于點N，則BM+MN=B'M+MN．

根據(jù)“垂線段最短”可得它的最小值即線段B'N的長．

故BM+MN的最小值為9．