Question

3．已知M是菱形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BM并延長，交AD于點(diǎn)E，已知AB=5，AC=8，則當(dāng)AM的長為4或$\frac{7}{4}$時(shí)，△BMC是直角三角形．

Answer 1

分析 首先連接BD，交AC于點(diǎn)O，由菱形ABCD中，AB=5，AC=8，易求得BC=5，OA=OC=4，且BD⊥AC；然后分別從BM⊥AC與BM⊥BC去分析求解即可求得答案．

解答 解：連接BD，交AC于點(diǎn)O，
∵菱形ABCD中，AB=5，AC=8，
∴BC=AC=5，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，AC⊥BD；
當(dāng)BM⊥AC時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，此時(shí)AM=OA=4；
當(dāng)BM⊥BC時(shí)，∠CBM=∠COB，∠BCM=∠OCB，
∴△CBM∽△COB，
∴$\frac{BC}{OC}=\frac{CM}{CB}$，
即$\frac{5}{4}=\frac{CM}{5}$，
∴CM=$\frac{25}{4}$，
∴AM=AC-CM=$\frac{7}{4}$；
綜上：AM=4或$\frac{7}{4}$．
故答案為：4或$\frac{7}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線，利用分類討論思想求解是解此題的關(guān)鍵．