Question

【題目】(2016廣西省賀州市第23題)如圖，AC是矩形ABCD的對角線，過AC的中點(diǎn)O作EF⊥AC，交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連接AE，CF．

（1）求證：四邊形AECF是菱形；

（2）若AB=，∠DCF=30°，求四邊形AECF的面積．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、2

【解析】

試題分析：(1)、由過AC的中點(diǎn)O作EF⊥AC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四邊形ABCD是矩形，易證得△AOF≌△COE，則可得AF=CE，繼而證得結(jié)論；(2)、由四邊形ABCD是矩形，易求得CD的長，然后利用三角函數(shù)求得CF的長，繼而求得答案．

試題解析：(1)、∵O是AC的中點(diǎn)，且EF⊥AC， ∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，

∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AFO=∠CEO， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴AF=CE，

∴AF=CF=CE=AE， ∴四邊形AECF是菱形；

(2)、∵四邊形ABCD是矩形， ∴CD=AB=， 在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，

∴CF==2， ∵四邊形AECF是菱形， ∴CE=CF=2， ∴四邊形AECF是的面積為：ECAB=2．