Question

14．已知拋物線y=x²-（5+a）x+5a與x軸交于定點A和另一點C，
（1）求定點A的坐標；
（2）點B（1，2）是拋物線y=x²-（5+a）x+5a與以坐標原點為圓心的圓的一個交點，試判斷直線AB與圓位置關(guān)系；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點P（P在點A的右上方），使△PAC、△PBC的面積相等？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到頂點A的坐標；
（2）連接OB，確定出直線AB解析式，求出與y軸的交點D，進而求出$\frac{OD}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，再求出$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即$\frac{OD}{AD}=\frac{OB}{OA}$，得出△AOD∽△ABO，即∠ABO=∠AOD=90°，即可；
（3）利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再根據(jù)同底等高的三角形的面積相等，確定出線段AB的中點E和點C的直線解析式，與拋物線的交點即為所求的點P，然后聯(lián)立拋物線與直線的解析式求解即可．

解答 解：（1）y=0，則（x-5）（x-a）=0，
解得x₁=5，x₂=a，
∴定點A的坐標為（5，0）；
（2）如圖，

連接OB，由（1）A（5，0），
∴OA=5，
∵B（1，2），
∴直線AB解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
∴D（0，$\frac{5}{2}$），
∴OD=$\frac{5}{2}$，
在Rt△AOD中，AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∴sin∠OAD=$\frac{OD}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
方法一，（判斷∠ABO）
∵B（1，2），
∴OB=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{OD}{AD}=\frac{OB}{OA}$
∵∠OAD=∠BAO，
∴△AOD∽△ABO，
∴∠ABO=∠AOD=90°，
方法二，（判斷∠ABO）
∵B（1，2），
∴OB=$\sqrt{5}$，
∵A（5，0），
∴AB=2$\sqrt{5}$，OA=5，
∵AB²+OB²=25=AB²，
∴△ABO為直角三角形，
∴∠ABO=90°，
∵點B在⊙O上，
∴直線AB是⊙O的切線；
（3）存在點P（$\frac{17}{3}$，$\frac{25}{9}$）．
理由：∵拋物線y=（x-5）（x-a）過點B，
∴（1-5）（1-a）=2，
∴a=$\frac{3}{2}$，
∴y=（x-5）（x-a）=（x-5）（x-$\frac{3}{2}$）；
∴C（$\frac{3}{2}$，0）
如圖，
，
∵△PAC、△PBC的面積相等，
∴S_△PEB+S_△BEC=S_△PAE+S_△AEC，
∴BE=AE，
∵B（1，2），A（5，0），
∴E（3，1），
∵C（$\frac{3}{2}$，0），
∴直線CE的解析式為y=$\frac{2}{3}$x-1，
聯(lián)立拋物線解析式y(tǒng)=（x-5）（x-$\frac{3}{2}$）和直線CE的解析式y(tǒng)=$\frac{2}{3}$x-1，
可得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{17}{3}}\\{y=\frac{25}{9}}\end{array}\right.$，
∵P在點A的右上方，
∴P（$\frac{17}{3}$，$\frac{25}{9}$）．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了二次函數(shù)與x軸的交點問題，勾股定理的應(yīng)用，直線與圓相切，相似三角形的判定與性質(zhì)，同底等高的三角形的面積相等，（3）是本題的難點，考慮到點E是線段AB的中點求解是解題的關(guān)鍵．