Question

18．如圖，已知?ABCD中，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線EF分別交AD、BC于E、F兩點(diǎn)，連結(jié)BE，DF．
（1）求證：△DOE≌△BOF；
（2）當(dāng)∠DOE=90°，試判斷四邊形BEDF形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法ASA得出△DOE≌△BOF即可；
（2）首先利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進(jìn)而利用垂直平分線的性質(zhì)得出BE=ED，即可得出答案．

解答 （1）證明：∵在?ABCD中，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，
∴BO=DO，AD∥BC，
∴∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EDO=∠OBF}&{\;}\\{DO=BO}&{\;}\\{∠EOD=∠FOB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）解：四邊形BFDE為菱形，理由如下：
∵△DOE≌△BOF，
∴OE=OF，
又∵OB=OD
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
∵∠EOD=90°，
∴EF⊥BD，
∴四邊形BFDE為菱形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．