Question

【題目】數(shù)學(xué)活動：探究與發(fā)現(xiàn)

定義：如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，△ADE和△BCF均為等腰直角三角形，∠AED＝∠BFC＝90°，點G、H分別為AB、CD的中點，連接EG、EH、FG、FH，分別與AD、BC交于點M、P、N、Q，我們把四邊形PQNM叫做矩形ABCD的遞推四邊形．

獨立思考：

(1)求證：四邊形PQNM矩形．

合作交流：

(2)解決完上述問題后，“興趣”小組的同學(xué)們對正方形ABCD的遞推四邊形進行了探究，如圖(2)，他們猜想矩形PQNM的寬與長的比．他們猜想的結(jié)論是否正確？請說明理由．

發(fā)現(xiàn)問題：(3)在“興趣”小組同學(xué)們的啟發(fā)下，“實踐”小組的同學(xué)們對寬與長的比為的矩形的遞推四邊形進行了探究，如圖(3)．他們提出如下問題：

①在矩形ABCD中，若，則矩形PQNM的寬與長的比為_____；

②在矩形ABCD中，若，則矩形PQNM的寬與長的比為______；

③在矩形ABCD中，若，則矩形PQNM的寬與長的比為______．

任務(wù)：請你完成“實踐”小組提出的數(shù)學(xué)問題．(注：直接寫出結(jié)果，不要求說理或證明)

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)猜想正確，證明見解析；(3)①1：6；②1：12；③1：n(n+1)．

【解析】

（1）根據(jù)矩形的判定方法進行證明即可；

（2）如圖2中，作EJ⊥AD于J．設(shè)正方形的邊長為2a．則DH＝HC＝a，繼而求出PM、PQ即可解決問題；

（3）①如圖3中，作EJ⊥AD于J．設(shè)AD＝m，DC＝2m，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，平分線分線段成比例的性質(zhì)，求出PM、PQ即可得；

②作EJ⊥AD于J．設(shè)AD＝m，DC＝3m，求出PM、OQ即可解決問題；

③根據(jù)①②探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可.

(1)如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC，AD∥BC，

∵∠AED＝∠BFC＝90°，ED＝EA，FC＝FB，

∴∠ADE＝∠EAD＝∠FCB＝∠FBC＝45°，

∴△ADE≌△BFC(ASA)，∠EDH＝∠FCH＝135°

∴DE＝FC，

∵DH＝CH，

∴△EDH≌△FCH(SAS)，

∴∠DHE＝∠FHC，

∵∠PDH＝∠QCH＝90°，

∴△HDP≌△HCQ(ASA)，

∴DP＝CQ，∵DP∥CQ，

∴四邊形DPQC是平行四邊形，

∵∠PDC＝90°，

∴四邊形DPQC是矩形，

∴∠DPQ＝∠CQP＝90°，

∴∠MPQ＝∠NQP＝90°，

同法可證：∠PMN＝∠QNM＝90°，

∴四邊形PMNQ是矩形．

(2)結(jié)論：猜想正確．

理由：如圖2中，作EJ⊥AD于J．設(shè)正方形的邊長為2a．則DH＝HC＝a．

∵ED＝EA，∠AED＝90°，EJ⊥AD，

∴AJ＝DJ＝a，

∴EJ＝AJ＝DJ＝a，

∵∠EJP＝∠HDP＝90°，∠DPH＝∠EPJ，DH＝EJ＝a，

∴△DPH≌△JPE(AAS)，

∴DP＝PJ，

易證DP＝AM，

∴DP＝PJ＝JM＝AM，

∴PM＝a，

∵PQ＝CD＝2a，

∴＝．

(3)①如圖3中，作EJ⊥AD于J．設(shè)AD＝m，DC＝2m．

易知：EJ＝DJ＝AJ＝m，DH＝CH＝m，

∵DH∥EJ，

∴＝＝2，

可得PJ＝JM＝m，PM＝m，PQ＝CD＝2m，

∴＝＝．

②作EJ⊥AD于J．設(shè)AD＝m，DC＝3m．

易知：EJ＝DJ＝AJ＝m，DH＝CH＝1.5m，

∵DH∥EJ，

∴＝＝3，

可得PJ＝JM＝m，PM＝m，PQ＝CD＝3m，

∴＝＝．

③由①②可知：PM：PQ＝1：n(n+1)，

故答案為1：6，1：12，1：n(n+1)．