Question

【題目】（1）小My同學(xué)在網(wǎng)絡(luò)直播課中學(xué)習(xí)了勾股定理，他想把這一知識應(yīng)用在等邊三角形中：邊長為a的等邊三角形面積是　 　（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）小My同學(xué)進(jìn)一步思考：是否可以將正方形剪拼成一個等邊三角形（不重疊、無縫隙）？

①如果將一個邊長為2的正方形紙片剪拼等邊三角形，那么該三角形邊長的平方是　 　；

②小My同學(xué)按下圖切割方法將正方形ABCD剪拼成一個等邊三角形EFG：M、N分別為AB、CD邊上的中點(diǎn)，P、Q是邊BC、AD上兩點(diǎn)，G為MQ上一點(diǎn)，且∠MGP＝∠PGN＝∠NGQ＝60°．

請補(bǔ)全圖形，畫出拼成正三角形的各部分分割線，并標(biāo)號；

③正方形ABCD的邊長為2，設(shè)BP＝x，則x2＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）a2；（2）①；②詳見解析；③﹣1．

【解析】

（1）如圖1，過A作AD⊥BC于D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BD＝CD＝BC＝a，由勾股定理得到AD＝，于是得到S△ABC＝BCAD＝；

（2）①根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；

②補(bǔ)全圖形如圖2所示；

③由題意知，PG＝PE，GN＝NF，推出PN是△GEF的中位線，得到PN＝EF，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解：（1）如圖，過A作AD⊥BC于D，

∵△ABC是等邊三角形，

∴BD＝CD＝BC＝a，

∴AD＝，

∴S△ABC＝BCAD＝a2；

（2）①∵邊長為2的正方形的面積＝4，

∴剪拼成的等邊三角形的面積＝4，

∴a2＝4，

∴a2＝，

即該三角形邊長的平方是；

②補(bǔ)全圖形如圖2所示；

③由題意知，PG＝PE，GN＝NF，

∴PN是△GEF的中位線，

∴PN＝EF，

∵N為AB邊上的中點(diǎn)，

∴BN＝AB＝1，

∵邊長為2的正方形的面積＝4，

∴剪拼成的等邊三角形的面積＝4，

∴a2＝4，

∴a2＝，

即△GEF邊長的平方是，

∴EF＝，

∴PN＝，

∵PN2＝BN2+BP2，

∴＝1+x2，

∴x2＝﹣1；

故答案為：（1）；（2）①；③．