Question

2．如圖，菱形ABCD周長為8，∠BAD=120°，P為BD上一動點，E為CD中點，則PE+PC的最小值長為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求出菱形各邊的長度，作點E關(guān)于直線BD的對稱點E′，連接CE′交BD于點P，則CE′的長即為PE+PC的最小值，由菱形的性質(zhì)可知E′為AD的中點，由直角三角形的判定定理可得出△DCE′是直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的長．

解答 解：∵菱形ABCD的周長為8，
∴AD=DC=2，
作點E關(guān)于直線BD的對稱點E′，連接CE′交BD于點P，則CE′的長即為PE+PC的最小值，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD是∠ADC的平分線，
∴E′在AD上，由圖形對稱的性質(zhì)可知，DE=DE′=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵DE′=DE=$\frac{1}{2}$DC，
∴△DCE′是直角三角形，
∴CE′=$\sqrt{C{D}^{2}-DE{′}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
故PE+PC的最小值是$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是軸對稱-最短路線問題及菱形的性質(zhì)、直角三角形的判定定理，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出圖形是解答此題的關(guān)鍵．