Question

【題目】如圖，直線是線段的垂直平分線，交線段于點，在下方的直線上取一點，連接，以線段為邊，在上方作正方形，射線交直線于點，連接．

（1）設，求的度數；

（2）寫出線段、之間的等量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）45° ；（2），證明見解析.

【解析】

（1）由線段的垂直平分線的性質可得PM=PN，且PO⊥MN，由等腰三角形的性質可得∠PMN=∠PNM=α，由正方形的性質可得AP=PN，∠APN=90°，可得∠APO=α，由三角形的外角性質可求∠AMN的度數；

（2）由等腰直角三角形的性質和正方形的性質可得MN=CN，AN=BN，∠MNC=∠ANB=45°，可證△CBN∽△MAN，可得AM=BC.

（1）如圖，連接MP，

∵直線l是線段MN的垂直平分線，

∴PM=PN，且PO⊥MN

∴∠PMN=∠PNM=α

∴∠MPO=∠NPO=90°-α，

∵四邊形ABNP是正方形

∴AP=PN，∠APN=90°

∴AP=MP，∠APO=90°-（90°-α）=α

∴∠APM=∠MPO-∠APO=（90°-α）-α=90°-2α，

∵AP=PM

∴∠PMA=∠PAM= =45°+α，

∴∠AMN=∠AMP-∠PMN=45°+α-α=45°

（2）AM=BC

理由如下：

如圖，連接AN，CN，

∵直線l是線段MN的垂直平分線，

∴CM=CN，

∴∠CMN=∠CNM=45°，

∴∠MCN=90°

∴MN=CN，

∵四邊形APNB是正方形

∴∠ANB=∠BAN=45°

∴AN=BN，∠MNC=∠ANB=45°

∴∠ANM=∠BNC

又∵

∴△CBN∽△MAN

∴

∴AM=BC