Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一個(gè)外角．

實(shí)驗(yàn)與操作：

根據(jù)要求進(jìn)行尺規(guī)作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不寫作法）

（1）作∠DAC的平分線AM；

（2）作線段AC的垂直平分線，與AM交于點(diǎn)F，與BC邊交于點(diǎn)E，連接AE，CF．

猜想并證明：

判斷四邊形AECF的形狀并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）四邊形AECF的形狀為菱形．

【解析】

試題分析：先作以個(gè)角的交平分線，再作線段的垂直平分線得到幾何圖形，由AB=AC得∠ABC=∠ACB，由AM平分∠DAC得∠DAM=∠CAM，則利用三角形外角性質(zhì)可得∠CAM=∠ACB，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得OA=OC，∠AOF=∠COE，于是可證明△AOF≌△COE，所以OF=OE，然后根據(jù)菱形的判定方法易得四邊形AECF的形狀為菱形．

解：如圖所示，

四邊形AECF的形狀為菱形．理由如下：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵AM平分∠DAC，

∴∠DAM=∠CAM，

而∠DAC=∠ABC+∠ACB，

∴∠CAM=∠ACB，

∴EF垂直平分AC，

∴OA=OC，∠AOF=∠COE，

在△AOF和△COE中

，

∴△AOF≌△COE，

∴OF=OE，

即AC和EF互相垂直平分，

∴四邊形AECF的形狀為菱形．