Question

【題目】如圖，AD⊥BC于D，BE⊥AC于F，BE交AD于F，BF＝AC，

（1）求證：FD＝CD；

（2）連DE，求證：ED平分∠BEC；

（3）在（2）條件下，點P在AC上，連BP、DP，BP交AD于Q， BP平分∠EBC，∠BPD＝∠BFD，△APQ的面積為4，求線段PD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）；

【解析】

（1）先證明△BFD△ACD，即可得出FD＝CD；

（2）過D作DG⊥BE于G，DH⊥AC于H，由“AAS”可證△BDG△ADH，可得DG=DH，由角平分線的性質(zhì)可得ED平分∠BEC；

（3）如圖，過點P作PH⊥CD于H，PN⊥AD于N，延長PN交BE于點G，由角平分線的性質(zhì)可證PH=PN=PE，通過全等三角形的性質(zhì)可證AE=PE=PH，由面積公式可得PH=2，由直角三角形的性質(zhì)可求解；

（1）證明：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于F，

∴∠BDA=∠CDA=90°，∠FEA=90°，

∵∠BFD=∠AFE，∠BFD+∠FBD=90°，∠AFE+∠FAE=90°，

∴∠FBD=∠FAE=∠CAD，

∵∠DAC+∠ACD=90°，∠BFD=∠AFE，∠AFE+∠FAE=90°，

∴∠BFD=∠ACD，

在△BFD和△ACD中，

∴△BFD△ACD，

∴FD＝CD；

（2）證明：如圖1，過D作DG⊥BE于G，DH⊥AC于H，

∵△BFD△ACD，

∴∠B=∠A，BD=AD，

∴△BDG△ADH，

∴DG=DH，且DG⊥BE，DH⊥AC，

∴ED平分∠BEC；

（3）如圖，過點P作PH⊥CD于H，PN⊥AD于N，延長PN交BE于點G，

∵BP平分∠EBC，PH⊥BC，∠PEB=90°，PE=PH，

∴∠EBP=∠PBD，

∵∠PDC=∠PBD+∠BPD=，

∴∠PDC==45°，且∠ADC=90°，

∴∠ADP=∠PDC=45°，且PH⊥DC，PN⊥AD，

∴PH=PN，

∴PH=PN=PE，且∠APN=∠GPE，∠ANP=∠GEP=90°，

∴△APN△GPE，

∴AP=GP，

∴AE=GQ，

∵PH⊥CD，PN⊥AD，AD⊥CB，

∴四邊形DHPN是矩形，且PH=PN，

∴四邊形DHPN是正方形，

∴PH=QD=DH=NP，且FD=CD，

∴FN=CH，

∵∠A+∠C=90°，∠A+∠AFE=90°

∴∠C=∠AFE=∠GFN，且FN=CH，∠PHC=∠GNF，

∴△GNF△PHC，

∴PH=GN，

∴PH=AE=PE，

∵∠APB=∠PBC+∠C，∠AQP=∠GFN+∠EBP，

∴∠APB=∠AQP，

∴AP=AQ=2PH，

∵△APQ的面積為4，

∴，

∴，

∴PH=2，

∴PH=DH=2，且PH⊥CD，

∴；