Question

在平面直角坐標系xOy中：已知拋物線y=-

1

2

x2+(m2-m-

5

2

)x+

1

3

(5m+8)的對稱軸為x=-

1

2

，設拋物線與y軸交于A點，與x軸交于B、C兩點（B點在C點的左邊），銳角△ABC的高BE交AO于點H．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中的拋物線上是否存在點P，使BP將△ABH的面積分成1：3兩部分？如果存在，求出P點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由題意：x=-

m2-m- 5 2

- 1 2 ×2

=-

1

2

，
化簡，得：m²-m-2=0
解得：m₁=-1，m₂=2；
當m=-1時，函數解析式為：y=-

1

2

x²-

1

2

x+1（如右圖），其中△ABC不符合銳角三角形的特點，故m=-1舍去；
當m=2時，函數解析式為：y=-

1

2

x²-

1

2

x+6；
綜上，拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²-

1

2

x+6．

（2）由（1）知：拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²-

1

2

x+6（如右圖）；
令x=0，則y=6，即 A（0，6）；
令y=0，-

1

2

x²-

1

2

x+6=0，解得：x₁=3，x₂=-4；即 B（-4，0）、C（3，0）；
∠OAC=∠HBO=90°-∠ACO，又∠AEH=∠BOH=90°，
∴Rt△BOH∽Rt△AOC，
∴

BO

AO

=

OH

OC

，即

4

6

=

OH

3

，OH=2，AH=4；
在線段AH上取AM=HN=

1

4

AH=1，則 M（0，5）、N（0，3）；
設直線BM的解析式為：y=kx+5，則有：-4k+5=0，k=

5

4

；
∴直線BM：y=

5

4

x+5．
同理，直線BN：y=

3

4

x+3．
聯立直線BM和拋物線y=-

1

2

x²-

1

2

x+6，有：

y= 5 4 x+5 y=- 1 2 x2- 1 2 x+6

，
解得：

x1=-4 y1=0

，

x2= 1 2 y2= 45 8

∴P₁（

1

2

，

45

8

）；
同理，求直線BN與拋物線的交點P₂（

3

2

，

33

8

）；
綜上，存在符合條件的P點，且坐標為：P₁（

1

2

，

45

8

）、P₂（

3

2

，

33

8

）．