Question

如圖：拋物線y=ax²-4ax+m與x軸交于A、B兩點，點A的坐標是（1，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的對稱軸和點B的坐標；
（2）過點C作CP⊥對稱軸于點P，連接BC交對稱軸于點D，連接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，設拋物線的頂點為G，連接BG、CG、求△BCG的面積．

Answer 1

（1）對稱軸是x=-

b

2a

=-

-4a

2a

=2，…（2分）
∵點A（1，0）且點A、B關于x=2對稱，
∴點B（3，0）；…（4分）

（2）點A（1，0），B（3，0），
∴AB=2，
∵CP⊥對稱軸于P，
∴CP∥AB，
∵對稱軸是x=2，
∴AB∥CP且AB=CP，
∴四邊形ABPC是平行四邊形，…（5分）
設點C（0，x）（x＜0），
在Rt△AOC中，AC=

x2+1

，
∴BP=

x2+1

，
在Rt△BOC中，BC=

x2+9

，
∵

BD

BC

=

BE

BO

=

1

3

，
∴BD=

1

3

x2+9

，
∵∠BPD=∠BCP且∠PBD=∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，…（7分）
∴BP²=BD•BC，
即(

x2+1

)2=

1

3

x2+9

•

x2+9

，
∴x2+1=

1

3

(x2+9)，
∴x₁=

3

，x₂=-

3

，
∵點C在y軸的負半軸上，
∴點C（0，-

3

），…（8分）
∴y=ax²-4ax-

3

，
∵過點（1，0），
∴a-4a-

3

=0，
解得：a=-

3

3

．
∴解析式是：y=-

3

3

x²+

4 3

3

x-

3

；…（9分）

（3）當x=2時，y=

3

3

，
頂點坐標G是（2，

3

3

），…（10分）
設CG的解析式是：y=kx+b，
∵過點（0，-

3

）（2，

3

3

），
∴

b=- 3 k= 2 3 3

，
∴y=

2 3

3

x-

3

，…（11分）
設CG與x軸的交點為H，
令y=0，則

2 3

3

x-

3

=0，
得x=

3

2

，
即H（

3

2

，0），…（11分）
∴BH=3-

3

2

=

3

2

，
∴S_△BCG=S_△BHG+S_△BHC=

1

2

×

3

2

×

3

3

+

1

2

×

3

2

×|-

3

|=

3

4

+

3 3

4

=

3

…（13分）