Question

如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，連接DE．

(1)求證：DE與⊙O相切；

(2)若⊙O的半徑為，DE＝3，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)欲證“DE與⊙O相切”，因?yàn)辄c(diǎn)E在⊙O上，如果結(jié)論成立，則點(diǎn)E肯定是切點(diǎn)，所以只需連接OE，證明OE⊥ED即可；(2)利用△ABE∽△ACB可求AE的長(zhǎng)． 　　解：(1)連接OE、BE， 　　因?yàn)锳B是直徑， 　　所以BE⊥AC． 　　因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)， 　　所以DE＝DB． 　　所以∠DBE＝∠DEB． 　　又OE＝OB，∠OBE＝∠OEB， 　　所以∠DBE＋∠OBE＝∠DEB＋∠OEB， 　　即∠ABD＝∠OED． 　　又∠ABC＝90°，所以∠OED＝90°． 　　所以DE是⊙O的切線． 　　(2)因?yàn)镈E＝3，所以BC＝2DE＝6． 　　所以AC＝＝＝4． 　　又△ABE∽△ACB，所以＝． 　　所以AE＝＝＝． 　　點(diǎn)評(píng)：證明切線時(shí)，條件中給出了直線與圓的公共點(diǎn)，但未給出過(guò)這點(diǎn)的半徑，則連接公共點(diǎn)和圓心，然后根據(jù)“經(jīng)過(guò)半徑的一端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”這個(gè)定理進(jìn)行證明．口訣是“連半徑，證垂直．切線判斷很簡(jiǎn)單，認(rèn)真審題是關(guān)鍵”．