1.已知:在△ABC中,AC=1.5,BC=2,AB=2.5,E、F均在直線AB上,且AE=AC,∠ECF=45°,則AF的長(zhǎng)為0.5或4.5.

分析 分兩種情況:
解法一:①當(dāng)E在BA的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖1,作輔助線,構(gòu)建直角三角形,先根據(jù)勾股定理列等式求AH的長(zhǎng),從而繼續(xù)求CH、BH的長(zhǎng),從而可以求EC的長(zhǎng),設(shè)FN=a,則EN=2a,可求FN=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,EN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$,由此求EF的長(zhǎng),得出AF的長(zhǎng);
②當(dāng)E在線段AB上時(shí),如圖2,同樣的方法可求得AF的長(zhǎng).
解法二,兩種情況都設(shè)某一個(gè)角為x°,分別表示其它角,利用等角對(duì)等邊,得出線段的長(zhǎng),計(jì)算AF的長(zhǎng).

解答 解法一:分兩種情況:
①當(dāng)E在BA的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖1,
過(guò)C作CH⊥AB于H,
設(shè)AH=x,則BH=2.5-x,
由勾股定理得:CH2=AC2-AH2=1.52-x2,
CH2=BC2-BH2=22-(2.5-x)2,
∴1.52-x2=22-(2.5-x)2,
x=0.9,
∴AH=0.9,
∴HE=AH+AE=0.9+1.5=2.4,
CH=$\sqrt{A{C}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{1.{5}^{2}-0.{9}^{2}}$=1.2,
在Rt△ECH中,EC=$\sqrt{C{H}^{2}+H{E}^{2}}$=$\sqrt{1.{2}^{2}+2.{4}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$,
過(guò)F作FN⊥EC于N,過(guò)A作AT⊥EC于T,
由tan∠E=$\frac{CH}{EH}=\frac{FN}{EN}=\frac{1.2}{2.4}=\frac{1}{2}$,
設(shè)FN=a,則EN=2a,
∵∠ECF=45°,
∴△FCN是等腰直角三角形,
∴FN=NC=a,
∴EC=EN+CN=2a+a=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$,
a=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
在△EFN中,F(xiàn)N=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,EN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$,
∴EF=$\sqrt{F{N}^{2}+E{N}^{2}}$=2,
∴AF=EF-AE=2-1.5=0.5;
②當(dāng)E在線段AB上時(shí),如圖2,
過(guò)C作CH⊥AB于H,
同理得:AH=0.9,CH=1.2,
∵AC=AE=1.5,
∴EH=AE-AH=1.5-0.9=0.6,
由勾股定理得:CE=$\sqrt{1.{2}^{2}-0.{6}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$,
∴tan∠ECH=$\frac{EH}{CH}=\frac{1}{2}$,
過(guò)F作FN⊥EC于N,
∵∠ECF=45°,
∴△FCN是等腰直角三角形,
∴FN=CN,
∵∠FNC=∠EHC=90°,
∠NEF=∠HEC,
∴∠NFE=∠ECH,
∴tan∠NFE=$\frac{EN}{FN}=\frac{1}{2}$,
∴FN=CN=2EN,
∴CE=EN=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$,
由勾股定理得:EF=$\sqrt{F{N}^{2}+E{N}^{2}}$=$\sqrt{(\frac{6\sqrt{5}}{5})^{2}+(\frac{3\sqrt{5}}{5})^{2}}$=3,
∴AF=AE+EF=1.5+3=4.5,
綜上所述,AF的長(zhǎng)為0.5或4.5;
解法二:分兩種情況:
①當(dāng)E在BA的延長(zhǎng)線上時(shí),如右圖1,
設(shè)∠E=x°,則∠ACE=x°,∠ACF=45°-x°,
∵∠ACB=90°,
∴∠BCF=90°-(45°-x°)=45°+x°,
∵∠CFB=∠E+∠ECF=45°+x°,
∴∠BCF=∠CFB,
∴BC=BF=2,
∴AF=AB-BF=2.5-2=0.5;
②當(dāng)E在線段AB上時(shí),如右圖2,
設(shè)∠AEC=x°,則∠ACE=x°,
∴∠BCE=90°-x°,
∴∠BCF=∠ECF-∠BCE=45°-(90°-x°)=x°-45°,
∵∠F=x°-45°,
∴∠F=∠BCF,
∴BC=BF=2,
∴AF=AB+BF=2.5+2=4.5,
故答案為:0.5或4.5.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、同角的三角函數(shù),熟練掌握勾股定理列方程是關(guān)鍵,恰當(dāng)?shù)刈鬏o助線是本題的突破口,有難度,同時(shí)要注意“E、F均在直線AB上”,根據(jù)數(shù)形結(jié)合采用分類討論的思想解決問(wèn)題.

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 (2)求∠EAD的度數(shù);
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6.若已知$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y-2z=0}\\{2x-3y+z=0}\end{array}\right.$,則x:y:z=1:2:4.

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13.如圖,B、F、C、E在一條直線上,AB=DE,BF=CE,AC=DF.
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10.觀察下列算式:$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$=$\frac{(\sqrt{2}-1)}{1}$=$\sqrt{2}-1$
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\frac{(\sqrt{4}-\sqrt{3})}{(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})}$=$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{1}$=$\sqrt{4}-\sqrt{3}$
(1)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空:$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}$=$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2014}$,$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$.
(2)對(duì)比下面的算式與上面的有何異同,根據(jù)你的觀察、猜想與驗(yàn)證,計(jì)算:
($\frac{1}{\sqrt{3}+1}+$$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$…+$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2013}}$)×($\sqrt{2015}+1$)

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11.如圖,在△ABC中,已知AB=AC,∠BAC=90°,AH是△ABC的高,AH=4 cm,BC=8 cm,直線CM⊥BC,動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)C開始沿射線CB方向以每秒3厘米的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)E也同時(shí)從點(diǎn)C開始在直線CM上以每秒1厘米的速度向遠(yuǎn)離C點(diǎn)的方向運(yùn)動(dòng),連接AD、AE,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)秒.
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